算法: 求数幂n次方50. Pow(x, n)

50. Pow(x, n)

Implement pow(x, n), which calculates x raised to the power n (i.e., xn).

Example 1:

Input: x = 2.00000, n = 10
Output: 1024.00000
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Example 2:

Input: x = 2.10000, n = 3
Output: 9.26100
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Example 3:

Input: x = 2.00000, n = -2
Output: 0.25000
Explanation: 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25
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Constraints:

• -100.0 < x < 100.0
• -231 <= n <= 231-1
• n is an integer.
• Either x is not zero or n > 0.
• -104 <= xn <= 104

1. 二分法解决， 递归解法

伪代码

func binaryExp(x, n):
    if n == 0: return 1.0
    if n < 0: return 1.0 / binaryExp(x, -n)
   
    // Binary exponentiation steps.
    if n is odd: return x * binaryExp(x * x, (n - 1) / 2)
    otherwise: return binaryExp(x * x, n / 2)
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class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        # 边界条件：如果 n 等于 0，任何数的 0 次方都等于 1。
        if n == 0:
            return 1
       
        # 处理指数 n 为负数的情况
        if n < 0:
            # 使用倒数的方式来计算负数指数的幂
            return 1.0 / self.myPow(x, -1 * n)
       
        # 执行二进制指数计算。
        # 如果 'n' 为奇数，使用二进制指数计算 'n - 1'，然后乘以 'x'
        if n % 2 == 1:
            return x * self.myPow(x * x, (n - 1) // 2)
        # 如果 'n' 为偶数，使用二进制指数计算 'n' 的一半
        else:
            return self.myPow(x * x, n // 2)

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复杂度分析：

1. 时间复杂度：O(log n)
   在二进制指数计算中，每次将指数 n 除以 2，因此总共需要进行 log n 次迭代。
2. 空间复杂度：O(log n)
   递归调用的最大深度是 log n，因此需要额外的空间来存储递归调用的状态。

2. 遍历法解决

class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        # 边界条件：如果 n 等于 0，任何数的 0 次方都等于 1。
        if n == 0:
            return 1

        # 处理指数 n 为负数的情况
        if n < 0:
            n = -1 * n  # 将负数指数变为正数
            x = 1.0 / x  # 同时将底数 x 变为其倒数

        # 执行二进制指数计算。
        result = 1  # 初始化结果为 1
        while n != 0:
            # 如果 'n' 是奇数，将结果乘以 'x' 并将 'n' 减 1
            if n % 2 == 1:
                result *= x
                n -= 1
            # 如果 'n' 是偶数，将 'x' 自乘并将 'n' 减半，这相当于计算 x 的平方。
            x *= x
            n //= 2

        return result

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复杂度分析：

1. 时间复杂度：O(log n)
   在二进制指数计算中，每次将指数 n 除以 2，因此总共需要进行 log n 次迭代。
2. 空间复杂度：O(1)
   除了存储结果和中间变量，没有使用额外的空间。