• 【数据结构与算法】树、二叉树的概念及结构(详解)

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    ⛳⛳本篇内容:c语言数据结构--树以及二叉树的概念与结构

    目录

    一.树概念及结构

    1.树的概念

    1.1树与非树

    树的特点：

    非树(图)的特点：

    1.2 关于树的细致概念

    1.3树的表示

    1.4树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

    二.二叉树概念及结构

    1.概念

    2.现实中的二叉树：

     2.3特殊的二叉树：

    2.4 二叉树的性质

    证明性质2和1

    习题练习

    一.树概念及结构

    1.树的概念

             树是一种 非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

    1.1树与非树

    树的特点：
    空树 -- 结点数为0的树
    非空树:
    • 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点(没有父节点)

    下面的两点一起理解:

    • 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
    • 因此，树是递归定义的。

    可以理解为:

    由根节点指向了各子树，子树的双亲节点又可以作为根节点，指向它们的孩子节点

    非树(图)的特点：
    1.除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点;

    2.子树是不相交的
    以下的这个结构是图(允许相交)，不是树
    注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

    3.一棵N个结点的树有N-1条边

    1.2 关于树的细致概念

    下面有个✅的是比较重要的知识点

    ✅节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

    ✅叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

    ✅非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

    ✅双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

    ✅孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

    ✅兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

    树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

    节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

    ✅树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

    堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

    ✅节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

    ✅子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

    森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

    对各知识点的进一步画图解析:

    • 节点的度:与该节点直接相连的边的数量

    • 叶节点(终端节点)：度为0的节点

    • 分支节点(非终端节点):度不为0的节点

    • 父节点(双亲节点)：一个节点的直接前驱就是它的父节点

    • 子节点(孩子节点):一个节点的直接后继就是它的子节点
    • 兄弟节点：由同一个父节点生出来的都是互为兄弟节点
    • 树的度:一棵树中，最大的节点的度称为树的度
    • 节点的层次：从上往下数，从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推;(默认是从1开始)
    • 树的高度(深度)：树中节点的最大层次，下图的高度就是4
    • 节点的高度：从下往上数
    • 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟
    • 节点的祖先：指从该节点向上追溯到根节点的路径上的所有节点，包括该节点的父节点、父节点的父节点，以此类推，直到达到根节点为止。
    • 子孙：从该节点向下追溯到所有末端节点的路径上的所有节点，包括该节点的直接子节点、子节点的子节点，以此类推，直到达到叶子节点为止。
    • 森林：是由多个不相交的树组成的集合(并查集)

    1.3树的表示

    A： 如果明确了树的度，那么可以定义。

    B、顺序表存储孩子。
     

    C、双亲表示法。(每个位置只存双亲的指针或者下标) 

    D、左孩子右兄弟表示法--简化树结构定义

             树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。
            我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
    代码实现： 
    1. typedef int DataType;
    2. struct Node
    3. {
    4.  struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
    5.  struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
    6.  DataType _data; // 结点中的数据域
    7. };

    画图解析：

    1.4树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

    二.二叉树概念及结构

    1.概念

    一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
    1. 或者为空
    2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

     从上图可以看出：

    1. 二叉树不存在度大于2的结点(度为0也可以)
    2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
    注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

    2.现实中的二叉树：

     2.3特殊的二叉树：

      1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。

    2.完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。  

    2.4 二叉树的性质

    1、若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点。
    2、若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1。
    3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝ n2＋1
    4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2（n+1). (ps：log2（n+1)是log以2为底，n+1为对数)
    5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

            1. 若 i>0 ， i 位置节点的双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根节点编号，无双亲节点
            2. 若 2i+1 ，左孩子序号： 2i+1 ， 2i+1>=n 否则无左孩子
            3. 若 2i+2 ，右孩子序号： 2i+2 ， 2i+2>=n 否则无右孩子

    证明性质2和1

    如何证明性质2和性质1，以下是证明过程：

    习题练习

    1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ B）
    A 不存在这样的二叉树
    B 200
    C 198
    D 199
    解析：
    2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ A）
    A 非完全二叉树
    B 堆
    C 队列
    D 栈
    解析：
            顺序存储结构适合于具有连续存储空间的数据结构，其中元素按照线性顺序存储。 对于非完全二叉树，由于其结构不规则，无法通过连续的存储空间来表示。因此，非完全二叉树不适合采用顺序存储结构。
            B. 堆、C. 队列、D. 栈都可以通过顺序存储结构有效地实现。堆是一种完全二叉树，可以使用数组来表示。队列和栈可以使用数组或者链表来表示，都适合顺序存储结构。
    3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（A ）
    A n
    B n+1
    C n-1
    D n/2

    和节点个数相关的公式有二：

    n0 = n2 + 1，N = n0 + n1 + n2

    已知总个数N为2n，那么只要知道n1即可求出n0.

    这里有一个重要的结论：

            在完全二叉树中，如果节点总个数为奇数，则没有度为1的节点；如果节点总个数为偶数，只有一个度为1的节点。

                                              节点个数是偶数，只有一个度为1的节点


                                            节点个数是奇数，没有度为1的节点

    2n为偶数，因此有一个度为1的节点。

    2n = n0 + 1 + n2 = n0 + 1 + n0 - 1

    2n = 2n0

    n0 = n，故选A

    4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ B）
    A 11
    B 10
    C 8
    D 12
    解析：
            根据性质4，h=log2（n+1)，n=531，h = log2(532),找一个最接近的数就是log2(512)，也就是log2(2^9)，向上取整，n=10；
    5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（B）
    A 383
    B 384
    C 385
    D 386
    解析：
            N=767个节点数是奇数个，所以N= n0+ n2(奇数个没有度为1的节点) ，
    由n0 ＝ n2＋1; N  = 2n0 - 1 ，那么n0 = (N + 1) / 2 = 384 
            本篇完，如有错误，欢迎指正，感谢来访！
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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_65186652/article/details/133514147