多源最短路径的原理及C++实现

时间复杂度

O(n3),n是端点数。

核心代码

template
class CNeiBoMat
{
public:
CNeiBoMat(int n, const vector>& edges,bool bDirect=false,bool b1Base= false)
{
m_vMat.assign(n, vector(n, INF));
for (int i = 0; i < n; i++)
{
m_vMat[i][i] = 0;
}
for (const auto& v : edges)
{
m_vMat[v[0]- b1Base][v[1]- b1Base] = v[2];
if (!bDirect)
{
m_vMat[v[1]- b1Base][v[0]- b1Base] = v[2];
}
}
}
vector> m_vMat;
};

//多源码路径
template
class CFloyd
{
public:
CFloyd(const vector>& mat)
{
m_vMat = mat;
const int n = mat.size();
for (int i = 0; i < n; i++)
{//通过i中转
for (int i1 = 0; i1 < n; i1++)
{
for (int i2 = 0; i2 < n; i2++)
{
//此时：m_vMat[i1][i2] 表示通过[0,i)中转的最短距离
m_vMat[i1][i2] = min(m_vMat[i1][i2], m_vMat[i1][i] + m_vMat[i][i2]);
//m_vMat[i1][i2] 表示通过[0,i]中转的最短距离
}
}
}
};
vector> m_vMat;
};

原理

当一层循环执行完后，m_vMat[i1][i2]表示经过[0,i)中的任意个点的最短距离。
初始状态下, m_vMat[i1][i2]表示直达的最小距离，也就是经过0个点。
通过[0,i)中任意个点，i1到i2的最短路径记为PrePathi1i2，通过[0,i+1)中任意个点，i1到i2的距离的路径为Pathi1i2，如果Path不经过Pathi1i2，则和PrePathi1i2相同。如果经过则可以拆分成{i1…i}+{i…i2}，显然{i1…i}是PrePathi1i,{i…i2}是PrePathii2，否则替换成PrePathi1i和PrePathii2。
m_vMat同时表示PreMath和Math，如果m_vMat[i1][i]或m_vMat[i][i2]已经更新，会带来错误的结果么？结果是不会，会更新但值不变。
当i1等于i时：
m_vMat[i][i2] = min(…, m_vMat[i][i] + m_vMat[i][i2]);
由于m_vMat[i][i]为0,所以右式就是左式。
当i2等于i时，类似。

样例

假定有5个点，前4个点连通。整个处理流程如下：

初始状态					处理完i等于0(不变)
0	1	4	INF	INF
1	0	2	4	INF
4	2	0	3	INF
INF	4	3	0	INF
INF	INF	INF	INF	0

处理完i等于1					处理完i等于2(不变)
		3	5

3
5

处理完i等于3，结果不变					最终结果
					0	1	3	5	INF
					1	0	2	4	INF
					3	2	0	3	INF
					5	4	3	0	INF
					INF	INF	INF	INF	0

测试样例

#include
#include
using namespace std;

struct CDebugParam
{
   int n;
   vector> edges;
   vector> result;
};

int main()
{
   const int INF = 1000 * 1000 * 1000;
   vector params = { {5,{{0,1,1},{0,2,4},{1,2,2},{1,3,4},{2,3,3}},
       {
           {0,1,3,5,INF},
           {1,0,2,4,INF},
           {3,2,0,3,INF},
           {5,4,3,0,INF},
           {INF,INF,INF,INF,0}
       }
       } };
   for (const auto& param : params)
   {
       CNeiBoMat mo(param.n, param.edges);
       CFloyd floyd(mo.m_vMat);
       for (int r = 0; r < param.n; r++)
       {
           for (int c = 0; c < param.n; c++)
           {
               assert(param.result[r][c] == floyd.m_vMat[r][c]);
           }
       }
   }
}