3.Tensors For Beginners- Forward and Backward Transformations

张量在不同坐标系之间来回移动的规则究竟如何。

之前说过，张量在坐标系变化下是不变的，故了解如何在坐标系之间来回移动对理解张量很重要。

Forward：旧基 到 新基

old basis：旧基

这是在二维坐标系下的两组基。

线性代数中的基： 向量空间V中的一组向量 若满足：
1）线性无光
2）向量中间V中的任何一个向量 都可由 该组向量 线性表出，
则称该组向量为 向量空间V的 一组基

前向变换（Forward）：从旧基转移到新基

如何转移？

--------------利用旧基向量 构建 新基向量

用旧基的线性组合来表示新基

可将这四个系数存储到一个2 x 2的矩阵F中，

矩阵F就是正向变换。

后向变换（Backward）：从新基转移到旧基

知道这个矩阵B后，就知道如何进行后向转换了，如何从新基转移到旧基

把向前转换 和 向后转换 两个矩阵进行相乘， F*B= E

 

解释：

两边左乘；

即

 就是上边的 B矩阵

这是二维的例子。

现推广到n维，

也是类似的，有n个旧基：，n个新基，

向前转换：Forward

但这么多方程看起来有点烦人， 

试试用公式简化

观察一下上图，就能写出下式：

一个新基 由 旧基中的所有向量的线性组合表示

该公式总结了上述的所有方程。

后向变换：Backward 

也是类似的

用新基的所有向量的线性组合来表示 旧基中的任一向量

并把这些系数写到一个 n x n的矩阵B中

同样的道理，可以用一个公式来总结 上述n个方程。

对于获得的两个矩阵，我们如何证明它们是互逆的？

观察上面最底下的这个式子， 其不就是在用 n个旧基向量的求和 来 构建一个 旧基向量吗，

那么中间那部门应该等于多少？

当然是 k==i 时，中间那部分就为1， 当 k ≠ i 时，中间那块为0.

这种 if i = k，就为1； if i≠k，就为0； 是普遍现象，我们把它称为Kronecker Delta

就是表示出一个单位矩阵

解释：
\(new(\tilde e_{1},\tilde e_{2}...\tilde e_{n})^{T} = F( e_{1}, e_{2}...e_{n})^{T}\)

两边左乘；

\(F^{-1} * new(\tilde e_{1},\tilde e_{2}...\tilde e_{n})^{T} = ( e_{1}, e_{2}...e_{n})^{T}\)

即\(( e_{1}, e_{2}...e_{n})^{T} = F^{-1} * new(\tilde e_{1},\tilde e_{2}...\tilde e_{n})^{T}\)

 就是上边的 B矩阵