数据结构与算法之堆: Leetcode 215. 数组中的第K个最大元素 (Typescript版)

数组中的第K个最大元素

• https://leetcode.cn/problems/kth-largest-element-in-an-array/

描述

• 给定整数数组 nums 和整数 k，请返回数组中第 k 个最大的元素。
• 请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素，而不是第 k 个不同的元素。
• 你必须设计并实现时间复杂度为 O(n) 的算法解决此问题。

示例 1

输入: [3,2,1,5,6,4], k = 2
输出: 5
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示例 2

输入: [3,2,3,1,2,4,5,5,6], k = 4
输出: 4
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提示

• 1 <= k <= nums.length <= $10^5$
• -$10^4$ <= nums[i] <= $10^4$

算法实现

1 ）基于js中原生sort api

const findKthLargest = function(nums, k) {
    return nums.sort((a,b) => b-a)[k - 1]
};
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• 这个浏览器默认提供的sort()方法，一般时间复杂度是 O(nlogn)

2 ）基于堆的数据结构和堆排序的方法

// 建立最小堆类
class MinHeap {
    heap: number[] = [];
    // 交换节点位置
    swap(i, j) {
        [this.heap[i], this.heap[j]] = [this.heap[j], this.heap[i]];
    }
    // 获得父节点
    getParentIndex(i) {
        return (i - 1) >> 1;
    }
    // 获取左子节点
    getLeftIndex(i) {
        return (i << 1) + 1; // 极客写法
    }
    // 获取右子节点
    getRightIndex(i) {
        return (i << 1) + 2;
    }
    // 向上移动
    shiftUp(index) {
        // 如果到了堆顶元素，index是0，则不要再上移了
        if(!index) return;
        const parentIndex = this.getParentIndex(index)
        if(this.heap[parentIndex] > this.heap[index]) {
            this.swap(parentIndex, index)
            this.shiftUp(parentIndex)
        }
    }
    // 下移
    shiftDown(index) {
        // 边界1：如果到了堆尾元素，则不要再下移了
        if(index >= this.heap.length - 1) return;
        const size = this.size();
        const leftIndex = this.getLeftIndex(index);
        const rightIndex = this.getRightIndex(index);
        if (leftIndex < size && this.heap[leftIndex] < this.heap[index]) {
            this.swap(leftIndex, index);
            this.shiftDown(leftIndex);
        }
        if (rightIndex < size && this.heap[rightIndex] < this.heap[index]) {
            this.swap(rightIndex, index);
            this.shiftDown(rightIndex);
        }
    }
    // 插入
    insert(value) {
        this.heap.push(value);
        this.shiftUp(this.heap.length - 1);
    }
    // 删除堆顶
    pop() {
        // pop()方法删除数组最后一个元素并返回，赋值给堆顶
        this.heap[0] = this.heap.pop();
        // 对堆顶重新排序
        this.shiftDown(0);
    }
    // 获取堆顶
    peak() {
        return this.heap[0];
    }
    // 获取堆的大小
    size() {
        return this.heap.length;
    }
}

// 实现
const findKthLargest = (nums, k) => {
    const h = new MinHeap();
    nums.forEach(n => {
        // 将数组元素依次插入堆中
        h.insert(n);
        // 如果堆满，则执行优胜劣汰
        (h.size() > k) && h.pop();
    })
    // 返回堆顶，此时就是第k大的元素
    return h.peak();
};
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• 关键在于这个堆的数据结构提供的 insert 方法 与 pop 方法
• 时间复杂度：O(nlogk)
  • 一个n循环，里面还嵌套一个heap的上移递归操作logk
  • 总体：n*logk
• 空间复杂度: O(k) 或 O(logn)
  • 堆的大小，数组的大小, k是输入的堆大小
• 注意
  • 本题使用的是一个堆排序的算法，O(nlogn)
  • 但是还有其他排序也可以达到这个效率
  • 但是这个不符合题目的要求：时间复杂度为 O(n) 的算法

3 ）基于冒泡排序

function findKthLargest(nums: number[], k: number): number {
    const len = nums.length - 1;
    for (let i = len; i > len - k; i--) {
        for (let j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                [nums[j], nums[j + 1]] = [nums[j + 1], nums[j]];
            }
        }
    }
    return nums[len - k + 1];
};
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• 这个算法基于冒泡排序修改而来，但是无法通过 leetcode , 对于一些用例数据，超出时间限制

4 ）基于快速排序

function quickselect(nums: number[], l: number, r: number, k: number) {
        if (l == r) return nums[k];
        const pivot = nums[l];
        let i:number = l - 1, j:number = r + 1;
        while (i < j) {
            do i++; while (nums[i] < pivot);
            do j--; while (nums[j] > pivot);
            if (i < j) [nums[i], nums[j]] = [nums[j], nums[i]];
        }
        return k <= j ? quickselect(nums, l, j, k) : quickselect(nums, j + 1, r, k);
    }

function findKthLargest(nums: number[], k: number): number {
    const n = nums.length;
    return quickselect(nums, 0, n - 1, n - k);
}
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• 这是官方提供的方法
• 时间复杂度 O(n), 证明过程可以参考「《算法导论》9.2：期望为线性的选择算法」。
• 空间复杂度 O(logn)，递归使用栈空间的空间代价的期望为 O(log⁡n)O(\log n)O(logn)。