原子核的基本性质与放射性

• 原子核的基本性质与放射性

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\titleformat{\subsection}{\fontsize{15}{6}\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
 
\begin{document}
	
	\thispagestyle{fancy}
	\pagenumbering{gobble} 
	\begin{center}
		\textbf{{\fontsize{15}{14}\itshape\selectfont
				原子核物理学习指导与习题解答
		}}
		\vspace{2em}
		
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				\today{}
		}}
		\vspace{2em}
		
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	% 目录页
	\newpage
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	\tableofcontents
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	% 正文页
	\newpage
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	\section{原子核的基本性质}
	\subsection{原子核的基本性质}
	\subsubsection{几何与电性质}
	\quad
	
	碳单位：$1U=\frac{^{12}_6C_6}{12}$
	
	氧单位：$1U=\frac{^{16}_8O_8}{16}$
	
	发射光谱：
	
	\begin{equation}
		\left\{
		\begin{aligned}
			\sqrt{\nu}=& AZ-B \\
			A\approx &5.2\times10^7s^{-1/2} \\
			B\approx&1.5\times10^8s^{-1/2} \\
		\end{aligned}
		\right.
	\end{equation}
 
	\subsubsection{原子核磁矩}
	\quad 
	
	质子与中子的反常磁矩。$P_s$和$P_l$是电子的自旋和轨道角动量。
	
	质子磁矩：$\mu_p=g_p(\frac{e}{2m_N})P_s$
	
	中子磁矩：$\mu_n=g_n(\frac{e}{2m_N})P_s$
	
	核磁矩：$\mu_I=g_I(\frac{e}{2m_p})P_l$
	
	核磁子：$\mu_N=\frac{e\hbar }{2m_p}$
	
	玻尔磁子：$\mu_e=\frac{e\hbar}{2m_e}$
	
	\subsubsection{电四极矩}
	\quad 
	
	电偶极矩：
	\begin{equation*}
		P=\int_V\rho zdz
	\end{equation*}
	
	电四极矩：
	\begin{equation*}
		Q=\frac{1}{e}\int \rho (3z^2-r^2)dr
	\end{equation*}
 
	\subsubsection{宇称}
	\quad 
	
	波函数的空间对称性
	
	空间反演算符
	
	
	
	\subsubsection{统计性}
	\quad 
	
	费米子：自旋为半整数的粒子（电子，质子，中子）
	
	玻色子：自旋为整数的粒子（光子）
	
	全同粒子：
	
	统计性：
	\begin{itemize}
		\item 费米统计：不可能有两个相同的粒子处于相同的状态
		\item 玻色统计：可能有两个相同的粒子处于相同的状态
		\item 经典统计：粒子是可分的，可以有两个相同的粒子处于相同的状态
	\end{itemize}
	
	
	\subsection{原子核基本性质的测量}
	\quad
	
	利用核磁共振方法测量原子核$g$因子
	\begin{equation*}
		g_I=\frac{h\nu}{\mu_N B}
	\end{equation*}
	
	质谱仪：
	
	
	\subsection{同位旋}
	\quad 
	
	镜像核的基态结合能（束缚能）相差不大，而且结合能的差值基本上等于镜像核的库仓位能差。
	
	核力的电荷无关性:$pp$和$nn$的强相互作用相同。在相同状态下，质子——质子、中子——中子或中子——质子间的强相互作用是相同的。
	
	同位旋$I$是指反映自旋和宇称相同、质量相近而电荷数不同的几种粒子归属性质的量子数。在强相互作用过程中，$I$守衡；弱相互作用、电磁作用过程中，$I$不守衡。同一多重态的粒子同位旋相同。
	
	质子和中子是同位旋$I$相同，同位旋第3分量不同的两种状态
	
	
	
	\subsection{习题解答}
 
	\quad
	
	1.1 
		
		元素特征X射线频率$\nu$与原子序数$Z$之间有关系:$\sqrt{\nu}=AZ-B$
		
		其中:$A\approx 5.2\times 10^7(s^{-1/2});B\approx 1.5\times10^8(s^{1/2})$
		
		易得:该元素原子序数为29
		
	1.2
		
		答案略
		
	1.3 
		
		答案略
		
	1.4 
		
		原子核半径与质量数满足近似关系$R=r_0A^{1/3}$
		
		其中:$r_0=1.45fm$
	
		易得响应核子半径
		
	1.5
		核自旋
	
	1.6
		
		同题1.4 
		
		答案略
		
	1.7
	
	1.8
	
	1.9
	
	1.10
		
		组成原子核的中子和质子具有自旋;同时他们在原子核内有复杂的相对运动，具有相应的轨道角动量，所有这些角动量的矢量和就构成原子核的
		自旋，原子核的自旋为核内部运动与核外部运动状态无关。
		
	1.11
		
		核磁共振时原子核吸收磁场能量引起核外电子超精细结构能级之间跃迁，并不是核能级间的跃迁。因为原子核的核距与外磁场作用产生附加能量，附加能量有$2I+1$个取值，导致同一能级加上$2I+1$个不同的附加能量从而形成$2I+1$个能级，核磁共振能级跃迁时$2I+1$个能级中的相邻子能级之间的跃迁，而不是核能级的跃迁
	
		
	
	
	
	
	\section{放射性及其衰变规律}
	\subsection{放射性的发现}
	
	\quad
	1896年 铀盐
	
	\subsection{放射性分类}
	
	\quad 
	
	$\alpha$粒子辐射：$^4_2He_2^{++}$
	
	$\beta$粒子辐射：$e^-$
	
	$\gamma$光子辐射：
	
	$L-W$辐射：同步辐射，加速辐射
	
	韧致辐射	
 
	中子辐射
	
	重离子辐射
	
	质子辐射
	
	\subsection{放射源与放射规律}
	\subsubsection{放射源}
	\quad 
	
	活度：单位时间发生的衰变次数
	
	放射性活度计量单位（贝可）：$1\,Bq\,\equiv\,1\,times/second$
	
	居里单位：$1\,Ci\,\equiv\,=\,3.7\times 10^{10}Bq$
	
	强度：单位时间放出的射线数量
	
	\subsubsection{衰变规律}
	
	\quad
	
	衰变常数：$\lambda=\frac{-\Delta N/N}{\Delta t}$
	
	放射性活度：$A=\lambda N$
	
	\begin{equation*}
		N(t)=N_0exp(-\lambda\cdot t)
	\end{equation*}
	
	
	\subsubsection{半衰期与平均寿命}
	
	\quad
	
	半衰期$T_{1/2}$：
	\begin{equation*}
		T_{1/2} = \frac{ln2}{\lambda}
	\end{equation*}
	
	平均寿命$\tau$：
	\begin{equation*}
		\tau = \frac{1}{N_0}\int_0^{N_0}t\cdot(-dN)=\frac{1}{\lambda}
	\end{equation*}
	
	\subsubsection{分支衰变}
	
	\quad 
	
	\begin{equation*}
		\begin{split}
			\lambda = & \sum \lambda_i\\
			N(t) = & N_0 exp(-\lambda t)\\
			A_i = & \lambda_i N=\lambda_iN_0exp(-\lambda t)
		\end{split}
	\end{equation*}
	
	\subsubsection{递次衰变}
	
	\quad 
	
	衰变链
	
	衰变方程：
	\begin{equation}
		\frac{dN_2(t)}{dt} = \lambda_1N_1 - \lambda_2N_2
	\end{equation}
	
	\begin{equation}
		N_2(t)= \frac{\lambda_1N_0}{\lambda_2-\lambda_2}\cdot(e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t})
78	\end{equation}
	
	极值点：$t=\frac{ln\frac{\lambda_2}{\lambda_1}}{\lambda_2-\lambda_1}$
	
	放射性平衡
	
	\begin{enumerate}
		\item 暂时平衡 $\lambda_1<\lambda_2,t\rightarrow + \infty$ 
		\item 长期平衡 $\lambda_1 << \lambda_2$
		\item 不平衡 $\lambda_1>\lambda_2,t\rightarrow + \infty$
	\end{enumerate}
	
	\subsubsection{放射系}
	\quad
	
	天然放射系
	\begin{enumerate}
		\item 钍系：$^{232}Th\rightarrow ^{208}Pb$
		\item 镎系：$^{237}Np \rightarrow ^{209}Bi$
		\item 铀系：$^{238}U\rightarrow ^{206}Pb$
		\item 锕系：$^{235}U\rightarrow ^{207}Pb$
 
	\end{enumerate}
	
	人工放射性增长
	
	比活度单位：$Bq/kg$ or $Bq/mL$
	
	人工放射性增长方式：
	\begin{itemize}
		\item 加速器
		\item 反应堆
		\item 裂变
	\end{itemize}
	
	人工放射性增长方程：
	
	\begin{equation*}
		\begin{split}
			&\frac{dN}{dt} + \lambda N = P\\
			&N(t)=\frac{P}{\lambda}(1-e^{-\lambda t})
		\end{split}
	\end{equation*}
	
	
	\subsection{质量亏损与结合能}
	\quad 
	
	对于低$Z$原子，可以剥离其全部电子，测得裸核质量。对于高$Z$原子，难以测得裸核的质量。本章及以后我们使用$M(Z,N)$表示原子质量，用$m(Z,N)$表示原子核质量。
	
	对于亏损质量$\Delta m(Z,N)=Zm_p+Nm_N-m(Z,N)$。我们选择近似方法$\Delta m(Z,N)\approx Z\cdot M(^1_1H_0)+N\cdot m_N-M(Z,N)$
	
	而原子核的结合能$B(Z,A)=\Delta mc^2$
	
	比结合能$\epsilon(Z,A)=B/A$
	
	
	\subsection{原子核的稳定性与稳定线}
	\subsubsection{$\beta$稳定线}
	\quad 
	
	$\beta^+$放射性
	
	$\beta^-$放射性
	
	$\beta$稳定性的经验公式
	\begin{equation*}
		Z=\frac{A}{1.98+0.0155A^{2/3}}
	\end{equation*}
	
	\subsubsection{核子奇偶分布}
	\quad
	
	质子和中子具有成对出现的趋势
	\begin{itemize}
		\item 偶偶核
		\item 奇奇核
		\item 奇$A$核
	\end{itemize}
	
	\subsubsection{重核的不稳定性}
	\quad 
	
	$A>150/200$
	
	\subsection{液滴模型}
	
	\begin{enumerate}
		\item 体积能
		\item 表面能
		\item 库伦能
		\item 对称能
		\item 对能
	\end{enumerate}
	
	结合能半经验公式：
	\begin{equation*}
		\begin{split}
			B(Z,A)=&B_v+B_s+B_c+B_a+B_p\\
			=&a_vA - a_sA^{2/3} - a_c Z^2A^{-1/3} -a_a(\frac{A}{2}-Z)^2A^{-1}+a_p\delta A^{-1/2}
		\end{split}
	\end{equation*}
 
	相关参量：
	\begin{align*}
		a_v=&15.835MeV\\
		a_s=&18.33MeV\\
		a_c=&0.714MeV\\
		a_a=&92.80MeV\\
		a_p=&11.2MeV
	\end{align*}
	
	同时：
\begin{equation*}
	\delta = \left\{
	\begin{aligned}
		1& \quad even-even\quad nuclear \\
		0& \quad old-add\quad nuclear \\
	   -1& \quad old-old\quad nuclear \\
	\end{aligned}
	\right.
\end{equation*}
	
	核素的结合能$B(Z,A)$与质量$m(Z,A)$的关系：
	\begin{equation*}
		m(Z,A)=Zm_p+(A-Z)m_n-B(Z,A)/c^2
	\end{equation*}
	
	核素的原子质量
	\begin{equation*}
		M(Z,A)=ZM(^1H)+(A-Z)m_n-B(Z,A)/c^2
	\end{equation*}
	
	\subsection{习题解答}
	test
	
	\section{常用物理常量}
	\quad 
	
	\subsection{宇宙物理常量}
	真空中光速：$c=2.998\times 10^{8} m\cdot s^{-1}$
	
	普朗克常量：
	\begin{equation*}
		\begin{split}
			h=&6.63\times10^{-34}J\cdot s\\
			\hbar=& 1.05\times10^{-34}J\cdot s\\
			=&6.58\times10^{-16}eV\cdot s
		\end{split}
	\end{equation*}
	
	玻尔兹曼常量：
	\begin{equation*}
		\begin{split}
			k=&1.38\times10^{-23}J\cdot K^{-1}\\
			=&0.86\times10^{-4}eV\cdot K^{-1}
		\end{split}
	\end{equation*}
	
	
	阿伏伽德罗常数：
	\begin{equation*}
		N_A=6.02\times 10^{23}mol^{-1}
	\end{equation*}
	
	原子质量单位：
	\begin{equation*}
		1u=1.661\times10^{-27}kg=931.494MeV\cdot c^{-2}
	\end{equation*}
 
	玻尔磁矩：
	\begin{equation*}
		\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}=9.271\times 10^{-24}J\cdot T^{-1}=5.788\times 10^{-11}MeV\cdot T^{-1}
	\end{equation*}
	
	核磁子：
	\begin{equation*}
		\mu_N=\frac{e\hbar}{2m_p}=5.051\times10^{-27}J\cdot T^{-1}=3.152\times10^{-14}MeV\cdot T^{-1}
	\end{equation*}
	
	
	精细结构常数：
	\begin{equation*}
		\begin{split}
			\alpha =& \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c}=7.297\times 10^{-3}\\
			\alpha^{-1}=&137.036
		\end{split}
	\end{equation*}
 
	\subsection{电子，质子和中子常数}
	\quad 
	
	元电荷：
	\begin{equation*}
		e=1.60\times10^{-19}C
	\end{equation*}
	
	电子静止质量：
	\begin{equation*}
		m_e=9.11\times 10^{-31}kg=0.511MeV\cdot c^{-2}
	\end{equation*}
	
	电子磁矩：
	\begin{equation*}
		\mu_e=1.001 \mu_B 
	\end{equation*}
		
	质子静止质量：
	\begin{equation*}
		\begin{split}
			m_p=&1.673\times10^{-27}kg\\
			=&938.272MeV\cdot c^{-2}\\
			=&1.007276u
		\end{split}
	\end{equation*}
	
	质子磁矩：
	\begin{equation*}
		\mu_p=2.793\mu_N
	\end{equation*}
	
 
	
	
	
	
	
	
	
 
	
\end{document}