高等数学笔记：已知通解的微分方程

已知通解的微分方程-朗斯基行列式

01 理论基础

(1) $n$ 阶形式

• 对于 $n$ 阶微分齐次方程，它的通解为 $C_1{y}_1+C_2{y}_2+\cdots +C_n{y}_n$，设 $y$ 为该齐次方程的任意解，

• 那么显然有 $y,y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 线性相关，即： ∣ y y 1 ⋯ y n y ′ y 1 ′    ⋮    ⋮ ⋱ y n ( n − 1 ) y ( n ) ⋯ y n − 1 ( n ) y n ( n ) ∣ = 0 \displaystyle{\left|

  yy1⋯yny′y1′  ⋮  ⋮⋱yn(n−1)y(n)⋯yn−1(n)yn(n)" role="presentation" style="position: relative;">yy′  ⋮y(n)y1y′1⋯⋯⋱y(n)n−1yn  ⋮y(n−1)ny(n)n$$\begin{array}{llll}y& y_1& \cdots & y_n\\ y^{\prime }& y_1^{\prime }& & ⋮\\ ⋮& & \ddots & y_n^{(n-1)}\\ y^{(n)}& \cdots & y_{n-1}^{(n)}& y_n^{(n)}\end{array}$$
  \right|=0} ​yy′  ⋮y(n)​y1​y1′​⋯​⋯⋱yn−1(n)​​yn​  ⋮yn(n−1)​yn(n)​​ ​=0 .

(2) 二阶形式

• 对于二阶微分齐次方程，它的通解为 $C_1{y}_1+C_2{y}_2$，设 $y$ 为该齐次方程的任意解，
• 那么显然有 $y$，$y_1$，$y_2$ 线性相关，即： ∣ y y 1 y 2 y ′ y 1 ′ y 2 ′ y ′ ′ y 1 ′ ′ y 2 ′ ′ ∣ = 0 \displaystyle{\left|
  yy1y2y′y1′y2′y″y1″y2″" role="presentation" style="position: relative;">yy′y′′y1y′1y′′1y2y′2y′′2$$\begin{array}{lll}y& y_1& y_2\\ y^{\prime }& y_1^{\prime }& y_2^{\prime }\\ y^{″}& y_1^{″}& y_2^{″}\end{array}$$
  \right|=0} ​yy′y′′​y1​y1′​y1′′​​y2​y2′​y2′′​​ ​=0 .

(3) 三阶形式

• 对于三阶微分齐次方程，它的通解为 $C_1{y}_1+C_2{y}_2+C_3{y}_3$，设 $y$ 为该齐次方程的任意解，

• 那么显然有 $y$，$y_1$，$y_2$，$y_3$ 线性相关，即： ∣ y y 1 y 2 y 3 y ′ y 1 ′ y 2 ′ y 3 ′ y ′ ′ y 1 ′ ′ y 2 ′ ′ y 3 ′ ′ y ′ ′ ′ y 1 ′ ′ ′ y 2 ′ ′ ′ y 3 ′ ′ ′ ∣ = 0 \displaystyle{\left|

  yy1y2y3y′y1′y2′y3′y″y1″y2″y3″y‴y1‴y2‴y3‴" role="presentation" style="position: relative;">yy′y′′y′′′y1y′1y′′1y′′′1y2y′2y′′2y′′′2y3y′3y′′3y′′′3$$\begin{array}{llll}y& y_1& y_2& y_3\\ y^{\prime }& y_1^{\prime }& y_2^{\prime }& y_3^{\prime }\\ y^{″}& y_1^{″}& y_2^{″}& y_3^{″}\\ y^{‴}& y_1^{‴}& y_2^{‴}& y_3^{‴}\end{array}$$
  \right|=0} ​yy′y′′y′′′​y1​y1′​y1′′​y1′′′​​y2​y2′​y2′′​y2′′′​​y3​y3′​y3′′​y3′′′​​ ​=0 .

02 例题解析

• 已知 $y_1=3$，$y_2=3+x^2$，$y_3=3+e^x$ 是某二阶线性非齐次方程的三个特解，求该微分方程及通解。

• 答案：$\left(2x-x^2\right)y^{\prime \prime }+\left(x^2-2\right)y^{\prime }+2(1-x)y=6(1-x)$ .