【学习笔记】CF1817E Half-sum

首先最优的贪心策略为：将原数组 排序 后，选择一个分界点$p$，然后对于$[1,p]$从后往前合并，$[p+1,n]$从前往后合并，将前后两个数的差值作为答案。模拟二进制下的加法即可做到$O(n)$检查。注意这里不需要均摊维护高精度加法（这样做会多一个$\log$），因为我们不关心中途的结果。

然后，从一次复合函数的角度推导（这样形式更为简洁）：

设$f(a_1,...,a_i,x)=ax+b$，那么$f(a_1,...,a_i,a_{i+1},x)=a\cdot \frac{a_{i+1}+x}{2}+b=\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}a\cdot a_{i+1}+b$

注意到$a=\frac{1}{2^i}$，因此从增长率的角度来看，应该只选前$30$项和后$30$项进行检查。

通常，我们可以通过邻项比较（找 变化量）的方法来排除掉一些一定不优的方案。

发现$f(a_1,...,a_{i+1})-f(a_1,...,a_i)=\frac{1}{2}a\cdot (a_{i+1}-a_i)=\frac{1}{2^i}(a_{i+1}-a_i)$，因此考虑原数组的差分数组$d_i=a_{i+1}-a_i$，那么从方案$i$到$j$的变化量为：$$-\frac{d_i}{2^i}-\sum _{i<k<j}{d}_k(\frac{1}{2^k}-\frac{1}{2^{n-k}})+\frac{d_j}{2^{n-j}}$$

注意到，如果$d_i=0$那么$i$一定不会成为最优分界点，因此我们 应该满足 $d_i>0$ 。那么，当$i\le j\le \frac{n}{2}$时，中间的式子一定$\le 0$，只有当$n-j\le i+30$时才可能成为答案。即：$j\ge n-i-30$。这样，我们只要找到第一个满足$\le \frac{n}{2}-30$并且$d_i>0$的位置，这一定是最优的；如果不存在，那么检验$[\frac{n}{2}-30,\frac{n}{2}]$中的所有位置。其等价实现是，检验前$30$个满足$d_i>0$的位置。对于$j>\frac{n}{2}$的情况显然是同理的。

复杂度$O(n\log V)$。

#include
#define ll long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define db double
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e6+65;
int T,n,m,res;
ll a[N],inv2=(mod+1)/2;
ll b[N],c[N],r[N];
void solve(int x){
    for(int i=0;i<=n+60;i++)b[i]=c[i]=0;
    for(int i=x;i>=1;i--){
        int j=i-(i==x);
        b[n-j]+=a[i];
    }for(int i=0;i<=n+60;i++)b[i+1]+=b[i]/2,b[i]%=2;
    for(int i=x+1;i<=n;i++){
        int j=n-i+1-(i==x+1);
        c[n-j]+=a[i];
    }for(int i=0;i<=n+60;i++)c[i+1]+=c[i]/2,c[i]%=2;
    for(int i=0;i<=n+60;i++){
        c[i]-=b[i];if(c[i]<0)c[i]+=2,c[i+1]--;
    }
    int it=n+60;while(it&&c[it]==r[it])it--;
    if(c[it]>r[it]){
        for(int i=0;i<=n+60;i++)r[i]=c[i];
        res=x;
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
        sort(a+1,a+1+n);res=1;for(int i=0;i<=n+60;i++)r[i]=0;
        int j=1;
        for(int i=1;i<=30;i++){
            while(j<n&&a[j]==a[j+1])j++;
            if(j==n)break;solve(j),j++;
        }j=n;
        for(int i=1;i<=30;i++){
            while(j>1&&a[j]==a[j-1])j--;
            if(j==1)break;solve(j-1),j--;
        }ll x=a[res];
        for(int i=res-1;i>=1;i--)x=(x+a[i])*inv2%mod;
        ll y=a[res+1];
        for(int i=res+2;i<=n;i++)y=(y+a[i])*inv2%mod;
        cout<<(y-x+mod)%mod<<"\n";
    }
}
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