积分值和面积、对称性

1. 积分的基本含义要从积分符号说起，积分号含有加号的意思，${\int }_a^{b}f(x)dx$可以理解为：区间[a,b]无限细分为无穷多个dx,无穷多个f(x)乘以dx的累积和。
2. 根据上面的描述，面积可以理解为${\int }_a^b|f(x)|dx,并且dx为正向（即a<b）$。f(x)取绝对值和dx的正向是为了保证积分表达式是正值，面积没有方向仅仅是一个标量。那么考虑一个问题：“积分值等于被积函数和积分元素x(or y)之间的面积”，这句话到底对不对呢？当然不全对。也就是说，这句话某些情况下是对的，某些情况下是错的。当被积函数的值在积分区间同号时是对的，当被积函数的值不同号时是错的，因为积分表达式f(x)dx有符号！
3. 积分对称性的隐含条件也包含dx的正向。假设 f(x) 是偶函数，根据定义有f(-x) = f(x), dx大于0，则$$\begin{gathered} {\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx= \\ 2{\int }_{-a}^{0}f(x)dx(积分表达式f(x)dx处处相等)(a>0) \end{gathered}$$；若f(x)是奇函数，根据奇函数的定义有f(-x) = - f(x)，则${\int }_0^{a}f(x)dx=-{\int }_0^{a}f(-x)dx={\int }_0^{-a}f(t)dt(将-x带换为t)=-{\int }_{-a}^{0}f(t)dt（a>0)$，即可得到结论${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$

参照下图帮助理解：

明白了这几者的关系，在碰到积分与面积、对称性有关的问题时，就不会犯迷糊了。

罗祥曾经说过一句话，“学习过于深入细节，这样的人，往往会失败，连通过考试都困难”。我觉得也是这样，学习没必要花费太多精力，牺牲自己绝大多数的精力和资源。创新讲究的是发散思维，学霸都是能集中注意力、用最少的时间获得最大收益的人。读书或者做事情过于苛刻会导致思想僵化、古板、钻牛角尖，这样的人往往只会死读书，读死书。