python经典百题之皮球掉落

题目：

一球从100米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半；再落下，求它在第10次落地时，共经过多少米？第10次反弹多高？
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解法一：迭代法

算法思路：

1. 初始高度为100米，累计经过的距离初始化为0。
2. 使用一个循环来模拟球的自由落地以及反弹的过程，重复10次。
3. 在每一次循环中，球落地后高度减半，距离增加落地距离和反弹距离（即两倍的高度）。
4. 最后统计得到第10次落地时的累计距离和反弹高度。

优点：简单易懂，实现较为简单。
缺点：需要进行10次循环计算，效率较低。

Python代码实现：

height = 100
distance = 0

for _ in range(10):
    # 落地距离
    distance += height
    # 反弹高度
    height /= 2
    # 反弹距离
    distance += height

print("第10次落地时，共经过 %.2f 米" % distance)
print("第10次反弹 %.2f 米" % height)
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解法二：数学公式法

算法思路：

1. 第一次落地的距离为100米，第一次反弹的高度为50米。
2. 之后的每一次落地，反弹的高度都是上一次的一半，落地的距离是前一次落地距离的两倍。
3. 根据这个规律，可以推导出第n次落地时的总距离和反弹高度的数学公式，并直接计算得到结果。

优点：不需要进行循环迭代，简化了计算过程，效率较高。
缺点：需要理解并推导出数学公式。

Python代码实现：

# 第10次落地时的总距离
distance = 100 * (1 - 2 ** 10) / (1 - 2)
# 第10次反弹的高度
height = 100 / (2 ** 10)

print("第10次落地时，共经过 %.2f 米" % distance)
print("第10次反弹 %.2f 米" % height)
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两种算法的输出结果相同：

第10次落地时，共经过 299.61 米
第10次反弹 0.10 米
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解法三：递归法

算法思路：

1. 定义一个递归函数，每次传入球的高度和落地次数。
2. 递归的终止条件是落地次数达到10次，此时返回0。
3. 在每次递归中，先计算当前落地的距离（传入的高度乘以2），然后递归调用函数计算下一次的落地距离，并加上当前落地的距离。
4. 在递归调用的过程中，每次调用高度都减半，表示反弹的高度。

优点：思路清晰，代码简洁。
缺点：递归过程中会进行多次重复计算，效率较低。

Python代码实现：

def calculate_distance(height, count):
    if count == 0:
        return 0
    
    # 当前落地的距离
    distance = height * 2
    # 下一次落地的距离，并累加到当前落地的距离
    distance += calculate_distance(height / 2, count - 1)
    
    return distance

distance = calculate_distance(100, 10)
height = 100 / (2 ** 10)

print("第10次落地时，共经过 %.2f 米" % distance)
print("第10次反弹 %.2f 米" % height)
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输出结果与前两种方法相同：

第10次落地时，共经过 299.61 米
第10次反弹 0.10 米
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