线性dp，优化记录，273. 分级

273. 分级

273. 分级 - AcWing题库

给定长度为 N 的序列 A，构造一个长度为 N 的序列 B，满足：

1. B 非严格单调，即 B1≤B2≤…≤BN 或 B1≥B2≥…≥BN。
2. 最小化 S=∑Ni=1|Ai−Bi|。

只需要求出这个最小值 S。

输入格式

第一行包含一个整数 N。

接下来 N 行，每行包含一个整数 Ai。

输出格式

输出一个整数，表示最小 S 值。

数据范围

1≤N≤2000
0≤Ai≤106

输入样例：

7
1
3
2
4
5
3
9

输出样例：

3

解析

这是一道结论题，在做这道题之前先要知道一个结论：

在满足S最小化的前提下，一定会存在一种构造序列B的方案，使得B中的数值都在A中出现过

 所以我们可以构造一种B序列，使得B序列的数从排过序的A中选

DP的核心思想是用集合来表示一类方案，然后从集合的维度来考虑状态之间的递推关系。

受上述性质启发，状态表示为：

f[i][j]:前 i 个A 中，第 i 个A与排序后的第 j 个A中选取第 j 个相减所得的最小值

可以发现这是一个不重不漏的集合划分方式

状态转移方程为：

f[i][j]=min(f[i-1][j-k])+abs(A[i]-SA[j])

初始化为 f =0x3f , f[0]=0

i: 1到n

j：1到n

k: 1到j

这显然会超时，所以我们优化一下

将状态转移方程展开：

f[i][j]=min(f[i-1][1],f[i-1][2],f[i-1][3]......f[i-1][j])+abs(A[i]-SA[j])

所以我们可以用前缀处理的思想处理：min(f[i-1][1],f[i-1][2],f[i-1][3]......f[i-1][j])

for (int i = 1; i <= n; i++) {
		mn = 0x3f3f3f3f;
		for (int j = 0; j <= n; j++) {
			mn = min(mn, f[i - 1][j]);
				f[i][j] = mn + abs(a[i] - sa[j]);
		}
	}

 所以代码就为

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2000 + 5;
int n;
int a[N],sa[N],f[N][N];
 
int cmp(const int& a, const int& b) {
	return a > b;
}
 
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
		sa[i] = a[i];
	}
	sort(sa + 1, sa + 1 + n);
	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	memset(f[0], 0, sizeof(f[0]));
	f[0][0] = 0;
	int mn = 0x3f3f3f3f;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		mn = 0x3f3f3f3f;
		for (int j = 0; j <= n; j++) {
			mn = min(mn, f[i - 1][j]);
				f[i][j] = mn + abs(a[i] - sa[j]);
		}
	}
	int ans = 0x3f3f3f3f;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans = min(ans, f[n][i]);
	}
	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	memset(f[0], 0, sizeof(f[0]));
	sort(sa + 1, sa + 1 + n, cmp);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		mn = 0x3f3f3f3f;
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			mn = min(mn, f[i - 1][j]);
				f[i][j] = mn + abs(a[i] - sa[j]);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans = min(ans, f[n][i]);
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}
 

详细的证明： 

AcWing 273. 分级 - AcWing

 

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e3 + 5;
int  n;
int a[N], b[N];
int f[N][N];
 
int cmp(const int& a, const int& b) {
	return a < b;
}
 
int dp() {
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		b[i] = a[i];
	sort(b + 1, b + 1 + n, cmp);
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int minv = 0x3f3f3f3f;
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			minv = min(minv, f[i-1][j]);
			f[i][j] = minv + abs(a[i] - b[j]);
		}
	}
	int ret = 0x3f3f3f3f;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ret = min(ret, f[n][i]);
	return ret;
}
 
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	int ans = dp();
	reverse(a + 1, a + 1 + n);
	ans = min(ans, dp());
	cout << ans << endl;
	return 0;
}