第9关：生成器与 yield

任务描述

Python 中存在着一个特殊的函数:生成器。生成器是一个“函数对象”，它与函数的定义在形式上完全相同，具有“函数名”与“参数列表”，不同之处在于它可以以yield方式“暂时返回”。

本关的任务是让学习者掌握 Python 中生成器的使用方法，然后利用生成器实现一个计算 π 的具有 O(N) 复杂度的算法。

相关知识

生成器的特点

当从别处调用的生成器暂时返回后，生成器会记住上次的返回点；当对该生成器再次调用（使用next()方法）时，它会从生成器上次的返回点继续执行，而不是从头开始执行该被调函数；此外，上次调用返回时的“上下文”在下次调用时也会恢复。

恰当的使用生成器，可以有效地降低使用标准函数时的计算复杂度。下面以斐波那契函数为例介绍如何使用生成器来实现。

基于生成器的斐波那契函数实现

斐波那契数列中的第 n 项 F(n) 可由下面的递推公式计算获得：

如果要计算 ∑i=0n​F(i) 的值，大致有下面两种方法。

第一种方法，按表达式通过定义函数计算：定义一个函数计算 F(i) ，而后用一个循环将这些计算结果累加。因为计算 F(i) 需要 O(i) 次加法，这使得整个运算的复杂度为 O(n2) 。

第二种方法，使用全局变量：将当前的 i、F(i)、F(i+1) 分别保存在全局变量 i、a、b 中，可以获得时间开销为 O(n) 的算法。然而，这种方法不具有扩展性 —— 当需要存储的全局变量非常多的时候，会破坏程序的数据封装性。

我们可以使用一个生成器，在避免使用过多全局变量的情况下获得开销为 O(n) 的算法，代码如下。

def fib():
    a = 1
    b = 1
    yield a       # 第一次的返回值
    yield b       # 第二次的返回值
    while True:
        a,b = b, a+b
        yield b   # 后面项的返回值
s = 0
f = fib
n = input()
for i in range(n+1):
    s += next(f)
print s

利用一个跟踪调试器，理解上述代码的执行，并弄明白为什么只需要 O(n) 次计算。

基于韦达公式的圆周率计算方法

在微积分诞生之前，法国数学家韦达于 1593 年发表了关于 π 的一个计算公式，也就是 Vieta（韦达）公式 :

那么就有 2π​≈∏i=0N​ai​ 。

使用该公式，我们可以计算出 π 的值。

编程要求

本关的编程任务是利用生成器，基于韦达公式给出计算 π 的具有 O(N) 复杂度的算法。

具体实现的代码框架如下:

# coding:utf-8
from math import sqrt
 
def Vieta():
#请在此输入代码
#********** Begin *********#
    a = sqrt(2)/2.0
    while True:
        yield a
        a = sqrt((1.0+a)/2.0)
 
 
#**********  End  *********#
 
N = int(input())
v = Vieta(); p = 1.0
 
for i in range(N+1):
# 请在此输入代码
# ********** Begin *********#
    p = p*next(v)
 
# **********  End  *********#
print ("%.6f"%(2.0/p))

本实训测试样例如下:

测试输入： 20

预期输出： 3.141593

提问：上述代码中为什么要用while true呢，意义在哪里，如果不加while true能行吗

在上述代码中，使用while True创建了一个无限循环，这是为了生成器函数leibniz_generator()能够无限产生项的值。这是因为韦达公式中的级数是无限的，所以我们需要一个无限循环来不断生成这些项。

如果不使用while True，而是使用某个固定的循环次数，那么就无法得到π的精确值，因为你无法确定需要多少项才能达到所需的精度。通过使用while True，我们可以根据需要生成尽可能多的项，直到满足精度要求为止。一旦某一项的值小于所需的精度，我们就可以在calculate_pi()函数中使用break语句来退出循环，从而计算出近似值。

因此，while True在这里的意义是创建一个无限循环，使得生成器能够按需生成无限多的项，以便在满足精度条件时停止。如果不使用无限循环，代码将会限制了项数，无法获得所需的精确度。