线性代数的本质(四)——行列式

行列式

二阶行列式

行列式引自对线性方程组的求解。考虑两个方程的二元线性方程组
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2\end{array}$$
可使用消元法，得
$$\begin{gathered} (a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})x_1=b_1{a}_{22}-a_{12}{b}_2 \\ (a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})x_2=a_{11}{b}_2-b_1{a}_{21} \end{gathered}$$
当 $a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\ne 0$ 时，得
$$x_1=\frac{b_1{a}_{22}-a_{12}{b}_2}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}},x_2=\frac{a_{11}{b}_2-b_1{a}_{21}}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}$$
从方程组解来看，分母 $a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$ 是系数矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$ 的元素计算得到，称这个值为矩阵 $A$ 的二阶行列式(determinant)，记为 $\det A$ 或 $|A|$ ，或记为数表形式
$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$
利用二阶行列式的概念，分子也可写为二阶行列式
$$\begin{gathered} \det A_1=\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|=b_1{a}_{22}-a_{12}{b}_2 \\ \det A_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|=a_{11}{b}_2-b_1{a}_{21} \end{gathered}$$
从上面对比可以看出，$x_j$ 的矩阵 $A_j$ 是系数矩阵 $A$的第 $j$ 列用常数项代替后的矩阵。这样，方程组的解可表示为
$$x_1=\frac{\det A_1}{\det A},x_2=\frac{\det A_2}{\det A}$$

$n$ 阶行列式

考虑三个方程的三元线性方程组，系数矩阵为
$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$$
用消元法可知未知数的分母同样是系数矩阵$A$ 的元素运算得到，于是定义三阶行列式为
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}$$
由二阶行列式的定义，上式可变为
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$$
进一步探索 $n$ 元线性方程组，可知高阶行列式定义。为书写方便，把元素 $a_{ij}$ 所在的行和列划掉后，剩下的元素组成的行列式称为 $a_{ij}$ 的余子式(cofactor)，记作 $M_{ij}$ ，并称
$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$
为 $a_{ij}$ 的代数余子式(algebraic cofactor)。

定义：方阵 $A$ 的行列式用第一行元素的代数余子式定义为
$$\det A=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j=1}^n{a}_{1j}{A}_{1j}$$
由定义易知，行列式可以按任意行(列)展开。
$$\begin{gathered} \det A=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij},\text{by row }i \\ \det A=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij},\text{by col }j \end{gathered}$$

行列式的性质

性质：使用数学归纳法可知

1. 行列式与其转置行列式相等：$\det A^T=\det A$
2. 互换行列式两行(列)，行列式改变符号。
   $$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right|$$
3. 行列式的某一行(列)所有元素同乘以数$k$，等于数$k$乘以该行列式。
   $$\left|\begin{array}{cc}ka& b\\ kc& d\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$$
4. 若行列式的某一行(列)的为两组数之和，则可表示为两行列式之和。
   $$\left|\begin{array}{cc}{a}_1+a_2& b\\ c_1+c_2& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b\\ c_1& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_2& b\\ c_2& d\end{array}\right|$$
5. 把行列式的某一行(列)所有元素同乘以数 $k$ 都加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变。
   $$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a+kb& b\\ c+kd& d\end{array}\right|$$
6. 矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积：$\det (AB)=(\det A)(\det B)=\det (BA)$

推论：

1. 行列式中若有两行(列)元素相同，该行列式的值为零。
2. 行列式中某一行(列)的公因子可以提取到行列式符号外面。
3. 行列式中若有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
4. $\det (kA)=k^n\det A$

由上面的性质，我们很容易得到：

1. 出现零行和零列的行列式为零。
2. 对角阵 $A=\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$ 的行列式 $\det A={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$ 。
3. 如果 $A$ 是三角阵，行列式为主对角线元素的乘积。

对于高阶行列式，一般利用行列式的性质，初等变换化为三角行列式求解。

示例：可用数学归纳法证明范德蒙行列式(Vandermonde determinant)：
$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ a_1& a_2& \cdots & a_n\\ a_1^2& a_2^2& \cdots & a_n^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& \cdots & a_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{1⩽i<j⩽n}(a_j-a_i)$$

行列式函数：若 $A$ 为$n$阶矩 阵，可以将 $\det A$ 看作 $A$ 中 $n$ 个列向量的函数。若 $A$ 中除了一列之外都是固定的向量，则 $\det A$ 是线性函数。

假设第 $j$ 列是变量，定义映射 $\mathbf{x}\mapsto T(\mathbf{x})$ 为
$$T(\mathbf{x})=\det A=\det \left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_1\cdots \mathbf{x}\cdots {\mathbf{a}}_n\end{array}\right]$$
则有
$$\begin{gathered} T(c\mathbf{x})=cT(\mathbf{x}) \\ T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}) \end{gathered}$$

克拉默法则

这里只讨论方程个数和未知数相等的$n$元线性方程组
$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$
若 $\det A\ne 0$，那么它有唯一解
$$x_j=\frac{\det A_j(\mathbf{b})}{\det A},(j=1,2,\cdots ,n)$$

约定 $A_j(\mathbf{b})$ 表示用向量 $\mathbf{b}$ 替换矩阵$A$的第$j$列。

证：用${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_n$ 表示矩阵$A$ 的各列，${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$ 表示单位阵$I_n$ 的各列。由分块矩阵乘法
$$\begin{array}{rl}A{I}_j(\mathbf{x})& =A\left[\begin{array}{ccccc}{\mathbf{e}}_1& \cdots & \mathbf{x}& \cdots & {\mathbf{e}}_n\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccccc}A{\mathbf{e}}_1& \cdots & A\mathbf{x}& \cdots & A{\mathbf{e}}_n\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccccc}{\mathbf{a}}_1& \cdots & \mathbf{b}& \cdots & {\mathbf{a}}_n\end{array}\right]\\ & =A_j(\mathbf{b})\end{array}$$
由行列式的乘法性质
$$\det A\det I_j(\mathbf{x})=\det A_j(\mathbf{b})$$
左边第二个行列式可沿第 $j$ 列余子式展开求得 $\det I_j(\mathbf{x})=x_j$。从而
$$x_j\det A=\det A_j(\mathbf{b})$$
若 $\det A\ne 0$，则上式得证。

行列式的几何理解

Grant：行列式告诉你一个线性变换对区域的缩放比例。

我们已经知道，线性变换保持网格线平行且等距。为了方便，我们只考虑在平面直角坐标系内，单位基向量 $\mathbf{i},\mathbf{j}$ 所围成的单位正方形区域的线性变换。

根据向量加法的平行四边形法则和线性变换基本性质知，变换后的区域为矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ 的列向量 $\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$ 为邻边的平行四边形区域。

结论：二阶行列式的值表示由 $A$ 的列确定的有向平行四边形的面积。

(1) 若 $A$ 为对角阵，显然行列式 $\det \left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right]$ 表示底为 $a$，高为 $d$ 的平行四边形面积

(2) 更一般的情况 $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ ，可以看出，行列式的值与面积有着紧密的联系。

(3) 矩阵 $\left[\begin{array}{cc}{a}^2& a\\ a& 1\end{array}\right]$ 表示将单位正方形压缩成线段，面积自然为0，行列式的值为0

单位正方形区域缩放的比例，其实可以代表任意给定区域缩放的比例。这是因为，线性变换保持网格线平行且等距。对于空间中任意区域的面积，借助微积分的思想，我们可以采用足够的小方格来逼近区域的面积，对所有小方格等比例缩放，则整个区域也以同样的比例缩放。
$$\text{volume }T(\Omega )=(\det T)(\text{volume }\Omega )$$

通过行列式的几何意义，我们就建立了线性变换、矩阵、行列式之间的关系。不难得出

1. 复合线性变换缩放的比例相当于每次变换缩放比例的乘积，即
   $$\det AB=\det A\det B$$
2. 行列式的值为零，表示将空间压缩到更低的维度，矩阵的列向量线性相关