算法综合篇专题三:二分法

"寻一颗，未萌的渺小啊，随着青翠未来，升入辽阔云霄~" 

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        现在你有一个"升序"数组，想让你在这个数组里完成查找数字n，在这个数组内的下标，你可以怎么做？这也许是不少友子们初遇二分问题的场景。你可以使用O(N)的时间复杂度，对该数组进行遍历，就像这样。

void FindNum(vector<int>& arr,int n)
{
    for(int i=0;isize();++i)
    {
        if(arr[i] == n) return i;
    }
 
    return -1;
}

        可是我们没有很好地利用到数组“有序”的特点，我们可以令数字为mid，那么借着有序的特点，可以将这个数组划分为两个区域，一边是小于mid的数，一边是大于mid的数。

void FindNum(vector<int>& arr,int n)
{
    int left = 0,right = arr.size()-1;
 
    while(left < right)
    {
        int mid = (left + right) / 2;
        if(arr[mid] < n) mid = left+1;
        else if(arr[mid] > m ) mid = right-1;
        else mid;
    }
 
    return -1;
}

        所以，按照这样的算法查找数组中的某个数，时间复杂度可以下降为O(logN),是一个特别大的提升，但使用这个算法的前前提的 “数组有序”。

——前言

1、二分查找

(1) 题目解析        

        这道题是最朴素的二分查找，同前言举的例子是一样的解题思路。

 

(2) 算法原理        

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0,right = nums.size()-1;
        // 当left==right时 当前元素是没有判断的
        // 因此这里需要再循环一次
        while(left <= right)
        {
            int mid = (left + right) / 2;
            if(nums[mid] > target){
                right = mid - 1;
            }
            else if(nums[mid] < target){
                left = mid + 1;
            }
            else return mid;
        }
        return -1;
    }
};

 

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2、在排序数组中查找元素的第⼀个和最后⼀个位置

(1) 题目解析

        根据数组"非递减顺序" 使用二分查找但朴素的二分查找只适用于查找一个数，所以这道题需要变形。

(2) 算法原理        

        查找区间右端点也是类似过程，只是需要注意细节处理：

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        if(nums.empty()) return {-1,-1};
        int left = 0,right = nums.size()-1;
        vector<int> ret;
        // 找左端点
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < target){
                left = mid + 1;
            }
            else right = mid;
        }
 
        // 此时找到了左端点
        if(nums[left] != target) ret.push_back(-1);
        else ret.push_back(left);
 
        right = nums.size()-1;
        // 找右端点
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left + 1) /2;
            if(nums[mid] > target){
                right = mid - 1;
            }
            else left = mid;
        }
        if(nums[right] != target) ret.push_back(-1);
        else ret.push_back(right);
        return ret;
    }
};

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3、搜索插⼊位置

(1) 题目解析

        这道题可以使用左端点和右端点解决。

(2) 算法原理

左端点:

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0,right = nums.size()-1;
 
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < target){
                left = mid + 1;
            }
            else right = mid;
        }
 
        // 可能该数不存在并且 > 当前数
        if(nums[left] < target) return left + 1;
 
        return left;
    }
};

右端点:

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0,right = nums.size()-1;
 
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if(nums[mid] > target){
                right = mid - 1;
            }
            else left = mid;
        }
 
        // 可能该数不存在并且 > 当前数
        if(nums[left] < target) return left + 1;
 
        return left;
    }
};

       

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4. x 的平方根 

(1) 题目解析         

 

(2) 算法原理        

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x < 1) return 0;
 
        // 1~x
        int left = 1,right = x;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right -left + 1) / 2;
            if(x < pow(mid,2))
            {
                right = mid - 1;
            }
            else left = mid;
        }
        return left;
    }
};

 

5、山脉数组的峰顶索引

(1) 题目解析

        

(2) 算法原理

左端点:

class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {
        int left = 1,right = arr.size()-2;
        // [left,mid] [mid+1,right]
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            // 左端点
            if(arr[mid] < arr[mid+1]){
                left = mid + 1;
            }
            else right = mid;
        }
 
        return right;
    }
};

 

右端点: 

class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {
        int left = 1,right = arr.size()-2;
        // [left,mid] [mid+1,right]
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if(arr[mid] < arr[mid-1]){
                right = mid - 1;
            }
            else left = mid;
        }
 
        return left;
    }
};

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6、寻找峰值 

(1) 题目解析

 

(2) 算法原理         

class Solution {
public:
    int findPeakElement(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 1) return 0;  
        int left = 0,right = nums.size() - 1;
 
        while(left < right)
        {
            // 左端点发
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < nums[mid+1]){
                left = mid+1;
            }
            else right = mid;
        }
        
        return left;
    }
};

 

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7、寻找旋转排序数组中的最小值

(1) 题目解析

        如何找到本题的二段性是比较难点。

 

(2) 算法原理

        

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        int left = 0,right = nums.size()-1;
        int x = nums[right]; //标记参照点
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] > x){
                left = mid + 1;
            }
            else right = mid;
        }
 
        return nums[left];
    }
};

 

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8、II. 0～n-1中缺失的数字

(1) 题目解析

 

(2) 算法原理        

class Solution {
public:
    int missingNumber(vector<int>& nums) {
        int left = 0,right = nums.size()-1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right-left) / 2;
            if(nums[mid] == mid) {
                left = mid + 1;
            }
            else right = mid;
        }
        // left为0时 特殊处理
        return  left == nums[left] ? left+1:left;
    }
};

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本篇到此结束，感谢你的阅读。

祝你好运，向阳而生~