合同矩阵充要条件

两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。

正惯性指数是矩阵正特征值个数，负惯性指数是矩阵负特征值个数。

即合同矩阵的充分必要条件是特征值的正负号个数相同。

证明：

本论证中的所有矩阵先假设为对称矩阵，但不限于对称矩阵。

根据定义，若矩阵A和矩阵B满足
$$B=P^{T}AP\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
则称A与B合同。

根据对称矩阵的性质，可以得出：
$$A=Q^T\Lambda Q\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

其中，$\Lambda$既可以是普通的对角矩阵（即标准型），也可以是规范型（即对角元素的绝对值为1）。

将（1.1）带入（1.2）可得：

$$B=P^T{Q}^T\Lambda QP=(QP{)}^T\Lambda (QP)\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

假设 $（QP）=R$，则（1.3）可化为

$$B=(R{)}^T\Lambda (R)\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

假若对角矩阵$\Lambda$是标准型，则 $\Lambda$一定可以利用矩阵乘法化为规范型矩阵。

从（1.2）和（1.4）可以得出，若A和B满足合同条件（1.1），等价于合同矩阵有相同的特征值（规范型），结论得证。

注意：

1. 在对称矩阵中，合同跟相似是等价的，两者能够相互推导。但是在非对称矩阵中，合同和相似是不同的。
2. 赫尔韦兹定理证明，可以参考对角线主子式的定义，以及特征值之积等于矩阵的行列式，这两点来证明。从第一阶主子式开始，依次递增的推论出第二个、第三个…第n个特征值的正负号。
   
   还是要感谢万能的知乎。

关于赫尔韦兹定理的证明如下：https://zhuanlan.zhihu.com/p/652751194