树，二叉树的概念与结构

所属专栏：初始数据结构❤️
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1️⃣ .树的概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因
为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
  <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的
• 下述R称为根节点
  
  ⚠️⚠️注意：树结构中，子树之间没有交际，否则就不是树结构了
  

1.2树的相关概念

1.节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
2.叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
3.非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
4.双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
5.孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
6.兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
7.树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
8.节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
9.树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
10,堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
12,节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
13.子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
14森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.3树的实现方式

• 树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};
1
2
3
4
5
6
7

1.4树的实际用途

我们在使用电脑的时候，各个文件之间的根目录，以及根目录下的文件就组合成立一个树状结构
例如：

2️⃣.二叉树的概念及结构

2.1二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组
3. 子节点大于等于0 & 小于等于2
4. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
   
   ⚠️⚠️注意：对任意的二叉树都有以下几种复合情况
   

2.2特殊二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
   说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
   的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
   应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

⚠️⚠️注意：一下的不是完全二叉树
⚠️⚠️注意：完全二叉树的最后一层子节点个数要大于等于1

• 1️⃣ .如果是我们的满二叉树，则他的总结点数就是：
  
• 2️⃣ .如果是我们的满二叉树，则他的总结点数就是：
  假设有n层，我们假设第n层有m个节点，所以总结点数就是：2^(n -1 ) - 1 + m;

2.3二叉树的概念

1. 若规定根节点的层数编号从1开始，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i - 1)个结点.
2. 若规定根节点的层数编号从1开始，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h - 1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n1 , 度为2的分支结点个数为 n2,则有n1 = n2 + 1
4. 若规定根节点的层数编号从1开始，具有n个结点的满二叉树的深度h= log2(n + 1). (ps： 是log以2为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
   于序号为i的结点有：
   1️⃣ .若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
   2️⃣.若2i+1=n否则无左孩子
   3️⃣.若2i+2=n否则无右孩子
   

2.4二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储
   顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空
   间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储
   二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
   链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
   在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程
   学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链