正弦信号的平均功率和峰值电压计算举例

正弦信号的平均功率和峰值电压计算举例

一、问题

假设加载在纯电阻为R=1Ω，频率为50Hz和60Hz的正弦信号的平均功率分别为0.5W和2W,请求解这两个信号的峰值电压$U_{p1}$和$U_{p2}$。

二、解答：

根据欧姆定律可知：对于纯电阻R两端的瞬时电流为
$$I=\frac{U}{R}=\frac{U_{p}sin(2\pi ft)}{R}\text{\hspace{1em}(1)}$$
根据功率计算公式，则瞬时功率P为：
$$P=UI=\frac{U^2}{R}=\frac{[U_{p}sin(2\pi ft){]}^2}{R}\text{\hspace{1em}(2)}$$

若求解平均功率$\overline{P}$,根据式(2)可得:

$$\overline{P}=\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{{[U_p\sin (2\pi ft)]}^2}{R}dt\text{\hspace{1em}(3)}$$

进一步，得到
$$\begin{gathered} \overline{P}=\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{{[U_p\sin (2\pi ft)]}^2}{R}dt \\ =\frac{U_p^2}{TR}{\int }_0^T{[\sin (2\pi ft)]}^{2}dt\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$

又由于${\int }_0^T{[\sin (2\pi ft)]}^{2}dt$可通过下面计算
$$\frac{T}{2}-\frac{\sin \left(4\pi fT\right)}{8\pi f}\text{\hspace{1em}(5)}$$
若取$T$为正弦信号的一个周期，则$T=1/f$，那么式（5）得到：
$$\frac{T}{2}-\frac{\sin \left(4\pi \right)}{8\pi f}=\frac{T}{2}\text{\hspace{1em}(6)}$$

将式子（6）带入式子（4）得到：

$$\begin{gathered} \overline{P}=\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{{[U_p\sin (2\pi ft)]}^2}{R}dt \\ =\frac{U_p^2}{TR}{\int }_0^T{[\sin (2\pi ft)]}^{2}dt \\ =\frac{U_p^2}{TR}\frac{T}{2} \\ =\frac{U_p^2}{2R}\text{\hspace{1em}(7)} \end{gathered}$$

根据题设若R=1欧姆，平均功率分别为0.5瓦特和2瓦特，则带入式子（7）得到：
$$0.5W=\frac{U_{p1}^2}{2\cdot 1\Omega }\text{\hspace{1em}(8a)}$$
$$2W=\frac{U_{p2}^2}{2\cdot 1\Omega }\text{\hspace{1em}(8b)}$$
根据式子（8a）和（8b）可得：
$$U_{p1}=1V\text{\hspace{1em}(9a)}$$
$$U_{p2}=2V\text{\hspace{1em}(9b)}$$

综上分析计算可得：加载在纯电阻为R=1Ω，频率为50Hz和60Hz的正弦信号的平均功率分别为0.5W和2W,请求解这两个信号的峰值电压$U_{p1}$和$U_{p2}分别为1V和2V.

三、仿真

根据上面的分析，编写程序，进行仿真。
编写的程序如下：

clc
clear all
close all

Fs=1000;
dt=1/Fs;
t=0:dt:0.1;

U1=sin(2*pi*50*t);
U2=2*sin(2*pi*60*t);
figure(20230908)
subplot(2,2,1)
plot(t,U1,'b',"LineWidth",2)
xlabel('Time [s]')
ylabel('Voltage [V]')
title('Subplot 1: U1=sin(2*pi*50*t)')

subplot(2,2,2)
plot(t,U2,'g',"LineWidth",2)
xlabel('Time [s]')
ylabel('Voltage [V]')
title('Subplot 2: U2=2*sin(2*pi*60*t)')

subplot(2,2,[3,4])
plot(t,U1,'b',t,U2,'g',"LineWidth",2)
xlabel('Time [s]')
ylabel('Voltage [V]')
legend("U1","U2")
title('Subplot 3 and 4: Both')

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运行结果：如图1所示。

图1 仿真得到两个正弦信号