(转载)基于量子遗传算法的函数寻优算法

8.1 理论基础

8.1.1 量子遗传算法概述

8.1.2 量子比特编码

        在量子遗传算法中，采用量子比特存储和表达一个基因。该基因可以为“0”态或“1”态，或它们的任意叠加态。即该基因所表达的不再是某一确定的信息，而是包含所有可能的信息，对该基因的任一操作也会同时作用于所有可能的信息。

        采用量子比特编码使得一个染色体可以同时表达多个态的叠加，使得量子遗传算法比经典遗传算法拥有更好的多样性特征。采用量子比特编码也可以获得较好的收敛性，随着|α|²或|β|²趋于0或1,量子比特编码的染色体将收敛到一个单一态。

8.1.3 量子门更新

        量子门作为演化操作的执行机构，可根据具体问题进行选择，目前已有的量子门有很多种，根据量子遗传算法的计算特点，选择量子旋转门较为合适。量子旋转门的调整操作为

8.2 案例背景

8.2.1 问题描述

 matlab代码及该函数的图形如下。

x = linspace(0, 12.1, 200);
y = linspace(4.1, 5.8, 200);
[x, y] = meshgrid(x,y);
f = 21.5+x.*sin(4*pi*x)+y.*sin(20*pi*y);
 
figure;
surf(x,y,f);
colormap(gca, 'jet')
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('f(x,y)');
title('函数图像')

8.2.2 解题思路及步骤

        采用遗传算法中的二进制编码，对存在多态的问题进行量子比特编码，如两态用一个量子比特进行编码，四态用两个量子比特进行编码。该方法的优点是通用性好，且实现简单。采用多量子比特编码m个参数的基因如下：

(2)量子旋转门

        量子遗传算法中，旋转门是最终实现演化操作的执行机构。这里使用一种通用的、与问题无关的调整策略，如表8-1所列。

8.3 MATLAB程序实现

8.3.1 种群初始化

function chrom=InitPop(M,N)
%% 初始化种群-量子比特编码
% M:为种群大小×2，(α和β)
% N:为量子比特编码长度
for i=1:M
    for j=1:N
        chrom(i,j)=1/sqrt(2);
    end
end

8.3.2 测量函数

function binary=collapse(chrom)
%% 对种群实施一次测量 得到二进制编码
% 输入chrom ：为量子比特编码
% 输出binary：二进制编码
[M,N]=size(chrom);  %得到种群大小 和编码长度
M=M/2;  % 种群大小
binary=zeros(M,N);  %二进制编码大小初始化
for i=1:M
    for j=1:N
        pick=rand;  %产生【0,1】随机数
        if pick>(chrom(2.*i-1,j)^2)    % 随机数大于α的平方
            binary(i,j)=1;
        else
            binary(i,j)=0;
        end
    end
end

function chrom=Qgate(chrom,fitness,best,binary)
%% 量子旋转门调整策略
% 输入  chrom：更新前的量子比特编码
%     fitness：适应度值
%        best：当前种群中最优个体
%      binary：二进制编码
% 输出  chrom：更新后的量子比特编码
sizepop=size(chrom,1)/2;
lenchrom=size(binary,2);
for i=1:sizepop
    for j=1:lenchrom
        A=chrom(2*i-1,j);   % α
        B=chrom(2*i,j);     % β
        x=binary(i,j);
        b=best.binary(j);
        if ((x==0)&(b==0))||((x==1)&(b==1))
            delta=0;                  % delta为旋转角的大小
            s=0;                        % s为旋转角的符号，即旋转方向
        elseif (x==0)&(b==1)&(fitness(i)<best.fitness)
            delta=0.01*pi;
            if A*B>0
                s=1;
            elseif A*B<0
                s=-1;
            elseif A==0
                s=0;
            elseif B==0
                s=sign(randn);
            end
        elseif (x==0)&(b==1)&(fitness(i)>=best.fitness)
            delta=0.01*pi;
            if A*B>0
                s=-1;
            elseif A*B<0
                s=1;
            elseif A==0
                s=sign(randn);
            elseif B==0
                s=0;
            end
        elseif (x==1)&(b==0)&(fitness(i)<best.fitness)
            delta=0.01*pi;
            if A*B>0
                s=-1;
            elseif A*B<0
                s=1;
            elseif A==0
                s=sign(randn);
            elseif B==0
                s=0;
            end
        elseif (x==1)&(b==0)&(fitness(i)>=best.fitness)
            delta=0.01*pi;
            if A*B>0
                s=1;
            elseif A*B<0
                s=-1;
            elseif A==0
                s=0;
            elseif B==0
                s=sign(randn);
            end
        end
        e=s*delta;       % e为旋转角
        U=[cos(e) -sin(e);sin(e) cos(e)];      % 量子旋转门
        y=U*[A B]';        % y为更新后的量子位
        chrom(2*i-1,j)=y(1);
        chrom(2*i,j)=y(2);
    end
end

8.3.4 适应度函数

function [fitness,X]=FitnessFunction(binary,lenchrom)
%% 适应度函数
% 输入  binary：二进制编码
%     lenchrom：各变量的二进制位数
% 输出 fitness：适应度
%            X：十进制数（待优化参数）
sizepop=size(binary,1);
fitness=zeros(1,sizepop);
num=size(lenchrom,2);
X=zeros(sizepop,num);
for i=1:sizepop
    [fitness(i),X(i,:)]=Objfunction(binary(i,:),lenchrom);         % 使用目标函数计算适应度
end

function [Y,X]=Objfunction(x,lenchrom)
%% 目标函数
% 输入     x：二进制编码
%   lenchrom：各变量的二进制位数
% 输出     Y：目标值
%          X：十进制数
bound=[-3.0 12.1;4.1 5.8];   % 函数自变量的范围
%% 将binary数组转化成十进制数组
X=bin2decFun(x,lenchrom,bound);
%% 计算适应度-函数值
Y=sin(4*pi*X(1))*X(1)+sin(20*pi*X(2))*X(2);

function X=bin2decFun(x,lenchrom,bound)
%% 二进制转化成十进制
% 输入      x：二进制编码
%    lenchrom：各变量的二进制位数
%       bound：各变量的范围
% 输出      X：十进制数
M=length(lenchrom);
n=1;
X=zeros(1,M);
for i=1:M
    for j=lenchrom(i)-1:-1:0
        X(i)=X(i)+x(n).*2.^j;
        n=n+1;
    end
end
X=bound(:,1)'+X./(2.^lenchrom-1).*(bound(:,2)-bound(:,1))'; 

clc;
clear all;
close all;
%----------------参数设置-----------------------
MAXGEN=200;                        % 最大遗传代数
sizepop=40;                        % 种群大小
lenchrom=[20 20];          % 每个变量的二进制长度
trace=zeros(1,MAXGEN);
%--------------------------------------------------------------------------      
best=struct('fitness',0,'X',[],'binary',[],'chrom',[]);   % 最佳个体 记录其适应度值、十进制值、二进制编码、量子比特编码
%% 初始化种群
chrom=InitPop(sizepop*2,sum(lenchrom));
%% 对种群实施一次测量 得到二进制编码
binary=collapse(chrom); 
%% 求种群个体的适应度值，和对应的十进制值
[fitness,X]=FitnessFunction(binary,lenchrom);         % 使用目标函数计算适应度
%% 记录最佳个体到best
[best.fitness bestindex]=max(fitness);     % 找出最大值
best.binary=binary(bestindex,:);
best.chrom=chrom([2*bestindex-1:2*bestindex],:);
best.X=X(bestindex,:);
trace(1)=best.fitness;
fprintf('%d\n',1)
%% 进化
for gen=2:MAXGEN
    fprintf('%d\n',gen)  %提示进化代数
    %% 对种群实施一次测量
    binary=collapse(chrom);
    %% 计算适应度
    [fitness,X]=FitnessFunction(binary,lenchrom);
    %% 量子旋转门
    chrom=Qgate(chrom,fitness,best,binary);
    [newbestfitness,newbestindex]=max(fitness);    % 找到最佳值
    % 记录最佳个体到best
    if newbestfitness>best.fitness
        best.fitness=newbestfitness;
        best.binary=binary(newbestindex,:);
        best.chrom=chrom([2*newbestindex-1:2*newbestindex],:);
        best.X=X(newbestindex,:);
    end
    trace(gen)=best.fitness;
end
 
%% 画进化曲线
plot(1:MAXGEN,trace);
title('进化过程');
xlabel('进化代数');
ylabel('每代的最佳适应度');
 
%% 显示优化结果
disp(['最优解X：',num2str(best.X)])
disp(['最大值Y:',num2str(best.fitness)]);
 

8.4 结果分析

        本例是针对8.2.1节中的案例进行编写的，用户可以根据自己的实际问题修改函数Objfunction(待优化的问题也并不局限在函数优化，可以是一个复杂的运算过程),再简单修改下

主函数中的相应变量设置即可。

8.5 延伸阅读

        前面使用的是未改进的量子遗传算法，该算法可以做些改进：