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大家好，我是小彭。
上周末是 LeetCode 第 100 场双周赛，你参加了吗？这场周赛整体没有 Hard 题，但是也没有 Easy 题。第一题国服前百名里超过一半人 wa，很少见。
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周赛概览
- 2591. 将钱分给最多的儿童（Easy）
- 题解一：模拟 $O(1)$
- 题解二：完全背包 $O(children·money^2)$
- 2592. 最大化数组的伟大值（Medium）
- 题解一：贪心 / 田忌赛马 $O(nlgn)$
- 题解二：最大重复计数 $O(n)$
- 2593. 标记所有元素后数组的分数（Medium）
- 题解一：排序 O$(nlgn)$
- 题解二：按照严格递减字段分组 $O(n)$
- 2594. 修车的最少时间（Medium)
- 题解一：二分查找 $O(n + U·log(mc^2))$
- 题解二：二分查找 + 计数优化 $O(n·log(mc^2))$
2591. 将钱分给最多的儿童（Easy）
题目地址
https://leetcode.cn/problems/distribute-money-to-maximum-children/description/
题目描述
给你一个整数 money ，表示你总共有的钱数（单位为美元）和另一个整数 children ，表示你要将钱分配给多少个儿童。
你需要按照如下规则分配：
- 所有的钱都必须被分配。
- 每个儿童至少获得
1美元。 - 没有人获得
4美元。
请你按照上述规则分配金钱，并返回 最多 有多少个儿童获得 恰好 **8 美元。如果没有任何分配方案，返回 -1 。
题解一（模拟）
这道题搞数字迷信？发发发 888？
简单模拟题，但是错误率很高，提交通过率仅 19%。
class Solution {
fun distMoney(money: Int, children: Int): Int {
var left = money
// 每人至少分配 1 元
left -= children
// 违反规则 2
if (left < 0) return -1
// 1、完美：正好所有人可以分配 8 元
if (left == children * 7) return children
// 2、溢出：所有人可以分配 8 元有结余，需要选择 1 个人分配结余的金额
if (left > children * 7) return children - 1
// 3、不足：尽可能分配 8 元
var sum = left / 7
// 结余金额
left -= sum * 7
// 如果结余 3 元，并且剩下 1 人分配了 1 元，需要破坏一个 8 元避免出现分配 4 美元
if (left == 3 && children - sum == 1) return sum - 1
return sum
}
}
复杂度分析：
- 时间复杂度：$O(1)$
- 空间复杂度：$O(1)$
题解二（完全背包问题）
竞赛中脑海闪现过背包问题的思路，但第一题暴力才是王道，赛后验证可行。
- 包裹：最多有
children人； - 物品：每个金币价值为 1 且不可分割，最多物品数为
money个； - 目标：包裹价值恰好为 8 的最大个数；
- 限制条件：不允许包裹价值为 4，每个包裹至少装 1 枚金币。
令 dp[i][j] 表示分配到 i 个人为止，且分配总金额为 j 元时的最大价值，则有：
- 递推关系：
$$
dp[i][j]=\sum_{k=1}^{j,k!=4} dp[i-1][j-k] + I(k==8)
$$
- 初始状态
dp[0][0] = 0 - 终止状态
dp[children][money]
class Solution {
fun distMoney(money: Int, children: Int): Int {
var left = money
// 每人至少分配 1 元
left -= children
// 违反规则 2
if (left < 0) return -1
val dp = Array(children + 1) { IntArray(left + 1) { -1 } }
dp[0][0] = 0
// i：枚举包裹
for (i in 1..children) {
// j：枚举金额
for (j in 0..left) {
// k：枚举选项
for (k in 0..j) {
// 不允许选择 3
if (k == 3) continue
// 子状态违反规则
if (-1 == dp[i - 1][j - k]) continue
// 子状态 + 当前包裹状态
val cnt = dp[i - 1][j - k] + if (k == 7) 1 else 0
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], cnt)
}
}
}
return dp[children][left]
}
}
滚动数组优化：
class Solution {
fun distMoney(money: Int, children: Int): Int {
var left = money
// 每人至少分配 1 元
left -= children
// 违反规则 2
if (left < 0) return -1
val dp = IntArray(left + 1) { -1 }
dp[0] = 0
// i：枚举包裹
for (i in 1..children) {
// j：枚举金额
for (j in left downTo 0) {
// k：枚举选项
for (k in 0..j) {
// 不允许选择 3
if (k == 3) continue
// 子状态违反规则
if (-1 == dp[j - k]) continue
// 子状态 + 当前包裹状态
val cnt = dp[j - k] + if (k == 7) 1 else 0
dp[j] = Math.max(dp[j], cnt)
}
}
}
return dp[left]
}
复杂度分析：
- 时间复杂度：$O(children·money^2)$
- 空间复杂度：$O(money)$
近期周赛背包问题：
2592. 最大化数组的伟大值（Medium）
题目地址
https://leetcode.cn/problems/maximize-greatness-of-an-array/
题目描述
给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 。你需要将 nums 重新排列成一个新的数组 perm 。
定义 nums 的 伟大值 为满足 0 <= i < nums.length 且 perm[i] > nums[i] 的下标数目。
请你返回重新排列 nums 后的 最大 伟大值。
题解一（贪心 / 田忌赛马）
贪心思路：田忌赛马，以下赛马策略最优：
- 田忌的中等马对齐威王的下等马，田忌胜；
- 田忌的上等马对齐威王的中等马，田忌胜；
- 田忌的下等马对齐威王的下等马，齐威王胜。
回到本题，考虑一组贡献伟大值的配对 $(p, q)$，其中 $p < q$。由于越小的值越匹配到更大值，为了让结果最优，应该让 p 尽可能小，即优先匹配 nums 数组的较小值。那么 $q$ 如何选择呢？有 2 种策略：
- 策略 1 - 优先匹配最大值：无法得到最优解，因为会消耗了较大的 q 值，可能导致部分 p 值无法匹配（如果田忌用上等马对齐威王的下等马，最终将是齐威王生出）；
- 策略 2- 优先匹配最接近的更大值：最优解，即田忌赛马策略，以 [1,1,1,2,3,3,5] 为例：
- 初始状态 i = 0，j = 0；
- i = 0，j = 0，无法贡献伟大值，j 自增 1（寻找最接近的更大值）；
- i = 0，j = 1， 无法贡献伟大值，j 自增 1；
- i = 0，j = 2， 无法贡献伟大值，j 自增 1；
- i = 0，j = 3， 贡献伟大值，j 自增 1，i 自增 1；
- i = 1，j = 4， 贡献伟大值，j 自增 1，i 自增 1；
- i = 2，j = 5， 贡献伟大值，j 自增 1，i 自增 1；
- i = 3，j = 6， 贡献伟大值，j 自增 1，i 自增 1；
- 退出循环，i = 4；正好等于伟大值 4。
class Solution {
fun maximizeGreatness(nums: IntArray): Int {
nums.sort()
// i：参与匹配的指针
var i = 0
for (num in nums) {
// 贡献伟大值
if (num > nums[i]) i++
}
return i
}
}
复杂度分析：
- 时间复杂度：$O(nlgn + n)$ 排序 + 线性遍历，其中 $n$ 是 $nums$ 数组长度；
- 空间复杂度：$O(lgn)$ 排序递归栈空间。
题解二（最大重复计数）
竞赛中从测试用例中观察到题解与最大重复数存在关系，例如：
- 用例 [1,1,1,2,3,3,5]：最大重复数为 3，一个最优方案为 [2,3,3,5,x,x,x]，最大伟大值为 7 - 3 = 4，其中 7 是数组长度；
- 用例 [1,2,2,2,2,3,5]：最大重复数为 4，一个最优方案为 [2,3,5,x,x,x,x]，最大伟大值为 7 - 4 = 3，其中 7 是数组长度；
- 用例 [1,1,2,2,2,2,3,3,5]，最大重复数为 4，一个最优方案为 [2,2,3,3,5,x,x,x,x]，最大伟大值为 9 - 4 = 5，其中 9 是数组长度。
我们发现题目的瓶颈在于数字最大重复出现计数。最大伟大值正好等于 数组长度 - 最大重复计数。
如何证明？关键在于 i 指针和 j 指针的最大距离：
当 i 指针指向重复元素的首个元素时（例如下标为 0、2、6 的位置），j 指针必须移动到最接近的较大元素（例如下标为 2，6，8 的位置）。而 i 指针和 j 指针的最大错开距离取决于数组重复出现次数最多的元素，只要错开这个距离，无论数组后续部分有多长，都能够匹配上。
class Solution {
fun maximizeGreatness(nums: IntArray): Int {
var maxCnt = 0
val cnts = HashMap<Int, Int>()
for (num in nums) {
cnts[num] = cnts.getOrDefault(num, 0) + 1
maxCnt = Math.max(maxCnt, cnts[num]!!)
}
return nums.size - maxCnt
}
}
复杂度分析：
- 时间复杂度：$O(n)$ 其中 $n$ 是 $nums$ 数组的长度；
- 空间复杂度：$O(n)$ 其中 $n$ 是 $cnts$ 散列表空间。
2593. 标记所有元素后数组的分数（Medium）
题目地址
https://leetcode.cn/problems/find-score-of-an-array-after-marking-all-elements/
题目描述
给你一个数组 nums ，它包含若干正整数。
一开始分数 score = 0 ，请你按照下面算法求出最后分数：
- 从数组中选择最小且没有被标记的整数。如果有相等元素，选择下标最小的一个。
- 将选中的整数加到
score中。 - 标记 被选中元素，如果有相邻元素，则同时标记 与它相邻的两个元素 。
- 重复此过程直到数组中所有元素都被标记。
请你返回执行上述算法后最后的分数。
题解一（排序）
这道题犯了大忌，没有正确理解题意。一开始以为 “相邻的元素” 是指未标记的最相邻元素，花了很多时间思考如何快速找到左右未标记的数。其实题目没有这么复杂，就是标记数组上的相邻元素。
如此这道题只能算 Medium 偏 Easy 难度。
class Solution {
fun findScore(nums: IntArray): Long {
// 小顶堆（索引）
val heap = PriorityQueue<Int>() { i1, i2 ->
if (nums[i1] != nums[i2]) nums[i1] - nums[i2] else i1 - i2
}.apply {
for (index in nums.indices) {
offer(index)
}
}
var sum = 0L
while (!heap.isEmpty()) {
val index = heap.poll()
if (nums[index] == 0) continue
// 标记
sum += nums[index]
nums[index] = 0
// 标记相邻元素
if (index > 0) nums[index - 1] = 0
if (index < nums.size - 1) nums[index + 1] = 0
}
return sum
}
}
复杂度分析：
- 时间复杂度：$O(nlgn)$ 堆排序时间，其中 $n$ 是 $nums$ 数组长度；
- 空间复杂度：$O(n)$ 堆空间。
题解二（按照严格递减字段分组）
思路参考：灵茶山艾府的题解
按照严格递减字段分组，在找到坡底后间隔累加 nums[i]，nums[i - 2]，nums[i - 4]，并从 i + 2 开始继续寻找坡底。
class Solution {
fun findScore(nums: IntArray): Long {
val n = nums.size
var sum = 0L
var i = 0
while (i < nums.size) {
val i0 = i // 坡顶
while (i + 1 < n && nums[i] > nums[i + 1]) i++ // 寻找坡底
for (j in i downTo i0 step 2) { // 间隔累加
sum += nums[j]
}
i += 2 // i + 1 不能选
}
return sum
}
}
复杂度分析：
- 时间复杂度：$O(n)$ 其中 $n$ 是 $nums$ 数组的长度，每个元素最多访问 2 次；
- 空间复杂度：$O(1)$ 只使用常数空间。
2594. 修车的最少时间（Medium)
题目地址
https://leetcode.cn/problems/minimum-time-to-repair-cars/
题目描述
给你一个整数数组 ranks ，表示一些机械工的 能力值 。ranksi 是第 i 位机械工的能力值。能力值为 r 的机械工可以在 r * n2 分钟内修好 n 辆车。
同时给你一个整数 cars ，表示总共需要修理的汽车数目。
请你返回修理所有汽车 最少 需要多少时间。
注意： 所有机械工可以同时修理汽车。
题解（二分查找）
我们发现问题在时间 t 上存在单调性：
- 假设可以在 t 时间内修完所有车，那么大于 t 的时间都能修完；
- 如果不能在 t 时间内修完所有车，那么小于 t 的时间都无法修完。
因此，我们可以用二分查找寻找 “可以修完的最小时间”：
- 二分的下界：1；
- 二分的上界：将所有的车交给能力值排序最高的工人，因为他的效率最高。
class Solution {
fun repairCars(ranks: IntArray, cars: Int): Long {
// 寻找能力值排序最高的工人
var minRank = Integer.MAX_VALUE
for (rank in ranks) {
minRank = Math.min(minRank, rank)
}
var left = 1L
var right = 1L * minRank * cars * cars
// 二分查找
while (left < right) {
val mid = (left + right) ushr 1
if (check(ranks, cars, mid)) {
right = mid
} else {
left = mid + 1
}
}
return left
}
// return 能否在 t 时间内修完所有车
private fun check(ranks: IntArray, cars: Int, t: Long): Boolean {
// 计算并行修车 t 时间能修完的车（由于 t 的上界较大，carSum 会溢出 Int）
var carSum = 0L
for (rank in ranks) {
carSum += Math.sqrt(1.0 * t / rank).toLong()
}
return carSum >= cars
}
}
复杂度分析：
- 时间复杂度：$O(n·log(mc^2))$ 其中 $n$ 是 $ranks$ 数组长度，$m$ 是 $ranks$ 数组的最小值，$c$ 是车辆数量，二分的次数是 $O(log(mc^2))$，每次 $check$ 操作花费 $O(n)$ 时间；
- 空间复杂度：$O(1)$ 仅使用常量级别空间。
题解二（二分查找 + 计数优化）
我们发现 $ranks$ 的取值范围很小，所有可以用计数优化每次 $check$ 操作的时间复杂度：
class Solution {
fun repairCars(ranks: IntArray, cars: Int): Long {
// 寻找能力值排序最高的工人
val cnts = IntArray(101)
var minRank = Integer.MAX_VALUE
for (rank in ranks) {
minRank = Math.min(minRank, rank)
cnts[rank]++
}
var left = 1L
var right = 1L * minRank * cars * cars
// 二分查找
while (left < right) {
val mid = (left + right) ushr 1
if (check(ranks, cars, cnts, minRank, mid)) {
right = mid
} else {
left = mid + 1
}
}
return left
}
// return 能否在 t 时间内修完所有车
private fun check(ranks: IntArray, cars: Int, cnts: IntArray, minRank: Int, t: Long): Boolean {
// 计算并行修车 t 时间能修完的车（由于 t 的上界较大，carSum 会溢出 Int）
var carSum = 0L
for (rank in minRank..100) {
if (cnts[rank] == 0) continue
carSum += cnts[rank] * Math.sqrt(1.0 * t / rank).toLong()
}
return carSum >= cars
}
}
复杂度分析：
- 时间复杂度：$O(n + U·log(mc^2))$ 其中 $n$ 是 $ranks$ 数组长度，$m$ 是 $ranks$ 数组的最小值，$U$ 是 $ranks$ 数组的取值范围，$c$ 是车辆数量，二分的次数是 $O(log(mc^2))$，每次 $check$ 操作花费 $O(U)$ 时间；
- 空间复杂度：$O(U)$ $cnts$ 计数数组空间。
近期周赛二分查找题目：
这场周赛就这么多，我们下周见。