Intel MKL库提供了大量优化程度高、效率快的稀疏矩阵算法，使用MKL库的将大型矩阵进行稀疏表示后，利用稀疏矩阵运算可大量节省计算时间和空间，但由于MKL中的原生API接口繁杂，因此将常用函数封装，便于后续使用，最后在实际例子中调用接口执行想要的矩阵运算。
0 稀疏矩阵
稀疏矩阵是指矩阵中大部分元素为0的矩阵。存储这些0值数据会耗费大量的存储空间，并且计算时也会产生不必要的时间浪费。为了更有效地存储和处理这种类型的矩阵，有几种不同的稀疏矩阵格式。
下面是几种常见的稀疏矩阵格式：
- COO格式：COO格式（坐标格式）用三个数组存储非零元素的行、列索引以及值。
- CSR格式：CSR格式（压缩行格式）用三个数组存储矩阵的非零元素值、列索引和行指针。行指针数组指示每行中第一个非零元素的位置。
- CSC格式：CSC格式（压缩列格式）与CSR格式类似，但是是按列存储非零元素。
- DIA格式：DIA格式（对角线格式）使用一个二维数组存储非零元素。数组中的每一行表示矩阵的一个对角线，并且只有矩阵中存在的对角线上的元素才被存储。
- BSR格式：BSR格式（块压缩行格式）用四个数组存储矩阵的非零元素。其中三个数组与CSR格式相同，第四个数组存储块的大小。
- ELL格式：ELL格式（行程格式）使用两个数组存储矩阵的非零元素。其中一个数组存储元素的值，另一个数组存储元素在每行中的位置。每行中最大非零元素数量相同。
MKL中主要用到的稀疏矩阵格式有COO，CSR及CSC（与CSR类似）三种，以下将简要介绍COO格式与CSR格式：
(1)COO(Coordinate,坐标格式)
也被称为三元组格式，在 COO 格式中，每一个非零元素都用一个三元组 (row, column, value) 来表示，其中 row 和 column 分别代表该元素所在的行和列的索引，value 则代表该元素的值。由于 COO 格式中的非零元素的存储是无序的，因此在进行矩阵向量乘法等操作时，需要对 COO 格式进行排序。
COO 格式的优点：非常简单直观，易于理解和实现，同时可以处理任意稀疏度的矩阵。
缺点：存储开销较大，需要存储每个非零元素的行列索引，同时由于无序存储的缘故，在进行一些稀疏矩阵的计算时会需要排序，因此在效率上可能不如其他稀疏矩阵格式。
例：
(2)CSR(Compressed Sparse Row,行压缩格式)
常用于稀疏矩阵的存储和计算，CSR格式通过将矩阵的非零元素存储在一个一维数组中，并用两个一维数组存储行指针和列指针，来有效地压缩稀疏矩阵的存储空间。
CSR格式的一维数组包含三个部分：数据、列索引和行指针。假设稀疏矩阵的大小为m × n，其中非零元素个数为nnz。分别介绍这三个数组的含义：
- 数据数组（values array）：存储非零元素的值，大小为nnz。
- 列索引数组（column indices array）：存储每个非零元素所在的列数，大小为nnz。
- 行指针数组（row pointer array）：存储每一行的第一个非零元素在数据数组中的下标，大小为m+1。
例：
1 稀疏矩阵乘法
所用示例如下，矩阵A、B分别为
\[A = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}
\end{array}}&{ - 3}&0&0\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&5
\end{array}}&0&0&0\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
0&0
\end{array}}&4&6&4\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 4}\\
0\\
1
\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}
0\\
8\\
0
\end{array}}
\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}
2\\
0\\
0
\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}
7\\
0\\
0
\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}
0\\
{ - 5}\\
0
\end{array}}
\end{array}} \right]_{6 \times 5}}{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
{ - 2}
\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
5
\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}\\
0
\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0
\end{array}}\\
0&0&4&6\\
{ - 4}&0&2&7\\
0&8&0&0
\end{array}} \right]}
\end{array}_{5 \times 4}}
\]
(1)matlab计算结果
作为标准答案，验证后续调用的正确性。
A=[1,-1,-3,0,0;
-2,5,0,0,0;
0,0,4,6,4;
-4,0,2,7,0;
0,8,0,0,-5;
1,0,0,0,0];
B=[1,-1,-3,0;
-2,5,0,0;
0,0,4,6;
-4,0,2,7;
0,8,0,0];
A*B
输出为：
(2)稀疏矩阵X稠密矩阵
用于计算稀疏矩阵(COO格式表示)的矩阵\(A\)，与稠密矩阵\(B\)的乘积。
函数将使用MKL库中的稀疏矩阵乘法接口mkl_sparse_s_mm实现\(y = alpha * A * x + beta * y\)，具体用法及参数详解如下：
mkl_sparse_s_mm(operation, //表示矩阵乘法的操作类型，可以是普通/转置/共轭转置
alpha, //乘法系数
A, //稀疏矩阵A
descr, //结构体，描述矩阵的属性，包括存储格式、存储顺序等
SPARSE_LAYOUT_ROW_MAJOR,//矩阵存储顺序
x, //X矩阵，稠密
columns, // 矩阵x的列数
ldx, //矩阵x的第一维
beta, //加法后系数
y, //y矩阵，即输出矩阵
ldy //矩阵y的第一维
);
此流程简述如下：
- 获取待稀疏表示矩阵\(A\)的COO格式（ia,ja,value），以及非零元素个数nnz；
- 根据三组数据创建COO格式稀疏矩阵，并通过MKL转换接口将其转为CSR格式；
- 执行稀疏矩阵csrA与稠密矩阵denseB的乘积，使用
mkl_sparse_s_mm接口计算矩阵乘法，结果为稠密矩阵C； - 将计算结果转为需要的尺寸（此例为二维数组）返回。
稀疏矩阵coo乘稠密矩阵接口
/*
输入：
ia 稀疏矩阵A的行索引，一维MKL整型
ja 稀疏矩阵A的列索引，一维MKL整型
a 稀疏矩阵A的数据值，一维浮点型
nnz 非零元素个数
denseB 稠密矩阵B数据，类型为float型的二维数组
rowsA 稀疏矩阵A的行数
colsA 稀疏矩阵A的列数
colsC A、B两矩阵相乘结果C的列数
flag 对稀疏矩阵A的操作，选项为0、1、2。0-A 1-AT(A矩阵的转置) 2-AH(A矩阵的共轭转置) 默认为0
allocType 二维矩阵定义方式，
allocType=0时，定义为A=alloc(row,col), A[col][row](第一维表示列，第二维表示行)
allocType=1时，定义为A=alloc(col,row), A[row][col](第一维表示行，第二维表示列)
输出：
denseC 稠密矩阵C数据，为A与B相乘后的结果，类型为float型的二维数组
*/
bool MKL_Sparse_CooXDense(MKL_INT *ia, MKL_INT *ja, float *a, int nnz, float **denseB, float **denseC, int rowsA, int colsA, int colsC, int flag, int allocType);
函数代码
bool MKL_Sparse_CooXDense(MKL_INT *ia, MKL_INT *ja, float *a, int nnz, float **denseB, float **denseC, int rowsA, int colsA, int colsC, int flag, int allocType) {
//生成csr格式稀疏矩阵
sparse_matrix_t csrA, cooA;
sparse_status_t status = mkl_sparse_s_create_coo(&cooA,
SPARSE_INDEX_BASE_ZERO,
rowsA, // number of rows
colsA, // number of cols
nnz, // number of nonzeros
ia,
ja,
a);
if (status != SPARSE_STATUS_SUCCESS) {
printf("Error creating COO sparse matrix.\n");
}
mkl_sparse_convert_csr(cooA, SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE, &csrA);
//调用mkl稀疏矩阵与稠密矩阵乘法 C=alpha*op(A)*B+beta*C
double alpha = 1.0;
double beta = 0.0;
int M, N, K;
int ncols, ldx, ldy;
if (allocType == 0) {
if (flag == 1 || flag == 2) { //转置或共轭转置，AT或AH
M = colsA;
N = rowsA;
K = colsC;
ncols = N;
ldx = N;
ldy = M;
}
else { //默认的情况下，A
M = rowsA;
N = colsA;
K = colsC;
ncols = N;
ldx = N;
ldy = M;
}
//将二维稠密矩阵B转为一维
float *denseB1D = (float*)mkl_malloc(N*K * sizeof(float), 64);
for (int i = 0; i < K; i++) {
memcpy(denseB1D + i * N, denseB[i], N * sizeof(float));
}
struct matrix_descr descr = { SPARSE_MATRIX_TYPE_GENERAL, SPARSE_FILL_MODE_FULL, SPARSE_DIAG_NON_UNIT };
float *denseC1D = (float*)mkl_malloc(M * K * sizeof(float), 64);
sparse_operation_t operation = SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE; //默认 op(A)=A;
if (flag == 0) { //稀疏矩阵 op(A)=A
operation = SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE;
}
if (flag == 1) {//稀疏矩阵 op(A)=AT
operation = SPARSE_OPERATION_TRANSPOSE;
}
else if (flag == 2)
{ //稀疏矩阵 op(A)=AH
operation = SPARSE_OPERATION_CONJUGATE_TRANSPOSE;
}
else {//稀疏矩阵 op(A)=A
operation = SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE;
}
mkl_sparse_s_mm(operation, alpha, csrA, descr, SPARSE_LAYOUT_COLUMN_MAJOR, denseB1D, ncols, ldx, beta, denseC1D, ldy);
//将计算结果转为2维
for (int i = 0; i < K; i++) {
memcpy(denseC[i], denseC1D + i * M, M * sizeof(float));
}
mkl_free(denseB1D);
mkl_free(denseC1D);
}
if (allocType == 1) {
if (flag == 1 || flag == 2) { //转置或共轭转置，AT或AH
M = colsA;
N = rowsA;
K = colsC;
ncols = K;
ldx = K;
ldy = K;
}
else { //默认的情况下，A
M = rowsA;
N = colsA;
K = colsC;
ncols = N;
ldx = K;
ldy = K;
}
//将二维稠密矩阵B转为一维
float *denseB1D = (float*)mkl_malloc(N*K * sizeof(float), 64);
for (int i = 0; i < N; i++) {
memcpy(denseB1D + i * K, denseB[i], K * sizeof(float));
}
struct matrix_descr descr = { SPARSE_MATRIX_TYPE_GENERAL, SPARSE_FILL_MODE_FULL, SPARSE_DIAG_NON_UNIT };
float *denseC1D = (float*)mkl_malloc(M * K * sizeof(float), 64);
sparse_operation_t operation = SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE; //默认 op(A)=A;
if (flag == 0) { //稀疏矩阵 op(A)=A
operation = SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE;
}
if (flag == 1) {//稀疏矩阵 op(A)=AT
operation = SPARSE_OPERATION_TRANSPOSE;
}
else if (flag == 2)
{ //稀疏矩阵 op(A)=AH
operation = SPARSE_OPERATION_CONJUGATE_TRANSPOSE;
}
else {//稀疏矩阵 op(A)=A
operation = SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE;
}
mkl_sparse_s_mm(operation, alpha, csrA, descr, SPARSE_LAYOUT_ROW_MAJOR, denseB1D, ncols, ldx, beta, denseC1D, ldy);
//将计算结果转为2维
for (int i = 0; i < M; i++) {
memcpy(denseC[i], denseC1D + i * K, K * sizeof(float));
}
mkl_free(denseB1D);
mkl_free(denseC1D);
}
//释放
mkl_sparse_destroy(csrA);
mkl_sparse_destroy(cooA);
return true;
}
执行main.cpp中的MKL_Sparse_CooXDense_Demo()后，
(3)稀疏矩阵X稀疏矩阵
两个稀疏矩阵的乘法，使用mkl_sparse_spmm接口实现\(C = op(A) * B\)，该接口的用法相对简单，
mkl_sparse_spmm(SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE,//是否对A矩阵进行操作
csrA, //A矩阵，CSR格式
csrB, //B矩阵，CSR格式
&csrC //C矩阵，CSR格式
);
在进行稀疏矩阵示例之前，先补充两个封装函数：MKL_Coo2Csr()、Print_Sparse_Csr_Matrix()。
/*
函数功能：根据已知坐标、元素值，创建CSR稀疏矩阵
输入：
float *a 稀疏矩阵的值 ----参照稀疏矩阵的coo格式
MKL_INT *ia 稀疏矩阵的行指针
MKL_INT *ja 稀疏矩阵的列索引
int nnz 稀疏矩阵的数量
int nrows稀疏矩阵的行数
int ncols稀疏矩阵的列数
输出：
sparse_matrix_t CSR格式稀疏矩阵
*/
sparse_matrix_t MKL_Coo2Csr(int* ia, int *ja, float *a, int nrows, int ncols, int nnz) {
//建立coo矩阵A 与 csrA矩阵
sparse_matrix_t cooA, csrA;
mkl_sparse_s_create_coo(&cooA,
SPARSE_INDEX_BASE_ZERO,
nrows, // number of rows
ncols, // number of cols
nnz, // number of nonzeros
ia,
ja,
a);
//coo转csr
mkl_sparse_convert_csr(cooA, SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE, &csrA);
//释放cooA矩阵
mkl_sparse_destroy(cooA);
//返回csrA矩阵
return csrA;
}
/*
函数功能：打印CSR稀疏矩阵的前n行n列元素
输入：
sparse_matrix_t CSR格式稀疏矩阵
int m 前m行
int n 前n列
*/
void Print_Sparse_Csr_Matrix(sparse_matrix_t csrA,int m,int n) {
sparse_index_base_t indexing;
int nrows;
int ncols;
MKL_INT* csr_row_start;
MKL_INT* csr_row_end;
MKL_INT* csr_col_indx;
float* csr_values;
mkl_sparse_s_export_csr(csrA, &indexing, &nrows, &ncols, &csr_row_start, &csr_row_end, &csr_col_indx, &csr_values);
float **A_dense = alloc2float(ncols, nrows);
memset(A_dense[0], 0, nrows*ncols * sizeof(float));
//将value转换为普通二维数组
for (int i = 0; i < nrows; i++) {
for (int j = csr_row_start[i]; j < csr_row_start[i + 1]; j++) {
A_dense[i][csr_col_indx[j]] = csr_values[j];
}
}
//输出稠密矩阵
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
printf("%f ", A_dense[i][j]);
}
printf("\n");
}
free2float(A_dense);
}
稀疏矩阵(csr)乘稀疏矩阵(csr)接口
/*
输入：
float *a 稀疏矩阵A的属性 ----参照稀疏矩阵的coo格式
MKL_INT *ia
MKL_INT *ja
int nnzA
int rowsA
int colsA
float *b 稀疏矩阵B的属性 ----参照稀疏矩阵的coo格式
MKL_INT *ib
MKL_INT *jb
int nnzB
int rowsB
int colsB
输出：
sparse_matrix_t 稀疏矩阵C(A*B)
*/
sparse_matrix_t MKL_Sparse_CooXCoo(
int* ia, int *ja, float *a, int rowsA, int colsA, int nnzA,
int* ib, int *jb, float *b, int rowsB, int colsB, int nnzB);
函数代码
sparse_matrix_t MKL_Sparse_CooXCoo(
int* ia, int *ja, float *a, int rowsA, int colsA, int nnzA,
int* ib, int *jb, float *b, int rowsB, int colsB, int nnzB) {
//根据坐标创建csrA和csrB
sparse_matrix_t csrA, csrB, csrC;
csrA = MKL_Coo2Csr(ia, ja, a, rowsA, colsA, nnzA);
csrB = MKL_Coo2Csr(ib, jb, b, rowsB, colsB, nnzB);
//csrC创建
mkl_sparse_d_create_csr(&csrC,
SPARSE_INDEX_BASE_ZERO,
rowsA, // number of rows
colsB, // number of cols
NULL, // number of nonzeros
NULL,
NULL,
NULL);
//MKL乘法
mkl_sparse_spmm(SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE, csrA, csrB, &csrC);
//释放矩阵A和B
mkl_sparse_destroy(csrA);
mkl_sparse_destroy(csrB);
return csrC;
}
执行main.cpp中的MKL_Sparse_CooXCoo_Demo()后，
计算结果与matlab结果一致。
2 稀疏矩阵求逆
(1)matlab计算结果
作为标准答案，验证后续调用的正确性。
A = [1 2 4 0 0;
2 2 0 0 0;
4 0 3 0 0;
0 0 0 4 0;
0 0 0 0 5];
A_inv = inv(A)
输出为：
(2)MKL计算
MKL的求逆计算相对复杂，以下将介绍MKL中的高性能稀疏线性方程组求解器PARDISO(Parallel Direct Sparse Solver Interface)，PARDISO 实现了高效的并行算法和内存管理技术，可以处理大规模、高度稀疏的线性方程组求解，并具有高性能和可扩展性。
PARDISO 的求解过程包括以下几个步骤：
- 输入矩阵：提供线性方程组的稀疏矩阵\(A\)，稀疏CSR格式。
- 分析矩阵：对矩阵进行预处理和分解，生成求解器所需的数据结构和信息，包括消元树、消元顺序、LU 分解等。
- 求解线性方程组：使用 LU 分解求解线性方程组，可以直接求解$ A X = B \(或者\) AX = λX $问题。
- 输出解向量：输出求解得到的解向量 \(X\)。
在我们使用PARDISO接口求逆时，思路为将\(B\)设为单位阵，此时求解\(X\)即为矩阵\(A\)的逆\(A^{-1}\)。
关于PARDISO接口参数的详细描述参考oneMKL PARDISO Parameters in Tabular Form (intel.com)，以下简单介绍：
PARDISO(pt, &maxfct, &mnum, &mtype, &phase, &n, a, ia, ja, &perm, &nrhs, iparm, &msglvl, b, x, &error);
-
pt：指向PARDISO内部数据结构的指针。数组长度为64，必须用零初始化，并且不再改动。
-
maxfct：最大因子数，通常设置为1。
-
mnum：与maxfct一起使用，用于区分不同的矩阵。
-
mtype：矩阵类型。具体取值如下：
- 1 - 实对称矩阵；
- 2 - 实对称正定矩阵；
- -2 - 实对称不定矩阵；
- 3 - 复对称矩阵；
- 11 - 实数、非对称矩阵；
-
phase：指定PARDISO的阶段。具体取值如：
- 11-分析阶段；
- 12-分析、数值分解阶段；
- 13-分析、数值分解、求解阶段；
- 22-数值分解阶段；
- 23-数值分解、求解阶段；
- 33-求解、迭代阶段；
- -1-释放所有矩阵内存；
-
n：\(AX=B\)的方程个数，简记为矩阵\(A\)的行。
-
a：稀疏矩阵\(A\)的非零元素（CSR格式中的values）。
-
ia：CSR格式中的行索引。
-
ja：CSR格式中的列索引。
-
perm：保存大小为 n 的置换向量。
-
nrhs：官方解释为：需要求解的右侧数(Number of right-hand sides that need to be solved for)，一般为1。
-
iparm：iparm是PARDISO中的一个长度为64的整数数组，用于控制PARDISO求解器的行为。iparm中每个参数的详细说明参见pardiso iparm Parameter (intel.com)，以下仅列出一些常用且便于理解的参数：
- iparm[0]：0-使用默认值，非0-使用自定义参数；
- iparm[11]：对稀疏矩阵A进行操作后求解。0-求解\(AX=B\)，1-求解\(A^HX=B\)，2-求解\(A^TX=B\)；
- iparm[12]: 使用（非）对称加权匹配提高准确性，0-禁用，1-开启；
- iparm[27]: 单精度/双精度，0-double，1-float；
- iparm[34]: 以0或1作为初始索引，0-从1开始索引，1-从0开始索引；
-
msglvl：Message level information，0-不生成输出，1-打印计算信息。
-
b：\(B\)矩阵。
-
x：\(X\)矩阵。
-
error：错误代码。
稀疏矩阵求逆接口
/*
输入：
float *a 稀疏矩阵的值 ----参照稀疏矩阵的csr格式
MKL_INT *ia 稀疏矩阵的行指针
MKL_INT *ja 稀疏矩阵的列索引
int nnz 稀疏矩阵的数量
int n 稀疏矩阵的维度 n*n
MKL_INT mtype 稀疏矩阵类型
输出：
float **Ainv [稠密矩阵]稀疏矩阵的逆 n*n
*/
bool MKL_Sparse_Inverse(float **Ainv, float *a, MKL_INT *ia, MKL_INT *ja, int nnz, int n,MKL_INT mtype);
函数代码
在代码中对求逆步骤进行解释
bool MKL_Sparse_Inverse(float **Ainv, float *a, MKL_INT *ia, MKL_INT *ja, int nnz, int n, MKL_INT mtype) {
/*STEP1 根据输入数组创建COO格式稀疏矩阵*/
//由于CSR格式不易表示，所以采取的路线为通过坐标创建COO格式矩阵
//再通过mkl接口将COO矩阵转为CSR矩阵
sparse_matrix_t csrA, cooA;
sparse_status_t status = mkl_sparse_s_create_coo(&cooA,
SPARSE_INDEX_BASE_ZERO,
n, // 稀疏矩阵的行、列
n,
nnz, // 非零元素个数
ia,//行索引
ja,//列索引
a);//矩阵元素值
if (status != SPARSE_STATUS_SUCCESS) {
printf("Error creating COO sparse matrix.\n");
}
//coo转csr格式
mkl_sparse_convert_csr(cooA, SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE, &csrA);
/*STEP2 根据CSR格式稀疏矩阵得到其ia,ja,a三组数据*/
sparse_index_base_t indexing;
int nrows;
int ncols;
MKL_INT* ia_csr = (MKL_INT*)mkl_malloc(nnz * sizeof(MKL_INT), 64);//csr格式的行指针
MKL_INT* csr_row_end = (MKL_INT*)mkl_malloc(nnz * sizeof(MKL_INT), 64);
MKL_INT* ja_csr = (MKL_INT*)mkl_malloc(nnz * sizeof(MKL_INT), 64);//csr格式的列索引
float* a_csr = (float*)mkl_malloc(nnz * sizeof(float), 64);//csr格式的矩阵值
//利用mkl_sparse_s_export_csr接口实现
mkl_sparse_s_export_csr(csrA, &indexing, &nrows, &ncols, &ia_csr, &csr_row_end, &ja_csr, &a_csr);
/*Step3 设置稀疏矩阵参数*/
//初始化B矩阵和X矩阵
float *b = NULL; //保存单位矩阵用于求逆
float *x = NULL; //解矩阵
b = (float*)mkl_malloc(n*n * sizeof(float), 64);
x = (float*)mkl_malloc(n*n * sizeof(float), 64);
//将B矩阵初始化为单位阵
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (i == j) {
b[i*n + j] = 1;
}
else {
b[i*n + j] = 0;
}
}
}
//初始化pt
void *pt[64];
for (int i = 0; i < 64; i++)
{
pt[i] = 0;
}
//初始化矩阵相关控制参数
MKL_INT maxfct = 1;
MKL_INT mnum = 1;
MKL_INT phase = 1;
MKL_INT perm = 0;
MKL_INT nrhs = n;
MKL_INT error = 0;
MKL_INT msglvl = 0;
//设置iparm参数
MKL_INT iparm[64];
//批量初始化
for (int i = 0; i < 64; i++)
{
iparm[i] = 0;
}
iparm[0] = 1; //开启自定义
iparm[12] = 1; //提高准确性
iparm[27] = 1; //为float型
iparm[34] = 1; //初始索引为0
/*Step4 分析矩阵、数值分解、求解*/
phase = 13; //phase设置为13，表示分析、数值分解、求解阶段
PARDISO(pt, &maxfct, &mnum, &mtype, &phase, &n, a_csr, ia_csr, ja_csr, &perm, &nrhs, iparm, &msglvl, b, x, &error);
//将解矩阵copy给输出,即A的逆矩阵
for (int i = 0; i < n; i++) {
memcpy(Ainv[i], x + i * n, n * sizeof(float));
}
//释放矩阵内存
phase = -1; //phase设置为-1
PARDISO(pt, &maxfct, &mnum, &mtype, &phase, &n, a_csr, ia_csr, ja_csr, &perm, &nrhs, iparm, &msglvl, b, x, &error);
//释放内存
mkl_sparse_destroy(cooA);
mkl_sparse_destroy(csrA);
mkl_free(x);
mkl_free(b);
return true;
}
在执行main.cpp中的MKL_Sparse_Inverse_Demo()之后，输出如下，与matlab结果一致：
完整代码
Ⅰ MKL_Sparse_Methods.h
#pragma once
#includeⅡ MKL_Sparse_Methods.cpp
#include "MKL_Sparse_Methods.h"
bool MKL_Sparse_CooXDense(MKL_INT *ia, MKL_INT *ja, float *a, int nnz, float **denseB, float **denseC, int rowsA, int colsA, int colsC, int flag, int allocType) {
//生成csr格式稀疏矩阵
sparse_matrix_t csrA, cooA;
sparse_status_t status = mkl_sparse_s_create_coo(&cooA,
SPARSE_INDEX_BASE_ZERO,
rowsA, // number of rows
colsA, // number of cols
nnz, // number of nonzeros
ia,
ja,
a);
if (status != SPARSE_STATUS_SUCCESS) {
printf("Error creating COO sparse matrix.\n");
}
mkl_sparse_convert_csr(cooA, SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE, &csrA);
//调用mkl稀疏矩阵与稠密矩阵乘法 C=alpha*op(A)*B+beta*C
double alpha = 1.0;
double beta = 0.0;
int M, N, K;
int ncols, ldx, ldy;
if (allocType == 0) {
if (flag == 1 || flag == 2) { //转置或共轭转置，AT或AH
M = colsA;
N = rowsA;
K = colsC;
ncols = N;
ldx = N;
ldy = M;
}
else { //默认的情况下，A
M = rowsA;
N = colsA;
K = colsC;
ncols = N;
ldx = N;
ldy = M;
}
//将二维稠密矩阵B转为一维
float *denseB1D = (float*)mkl_malloc(N*K * sizeof(float), 64);
for (int i = 0; i < K; i++) {
memcpy(denseB1D + i * N, denseB[i], N * sizeof(float));
}
struct matrix_descr descr = { SPARSE_MATRIX_TYPE_GENERAL, SPARSE_FILL_MODE_FULL, SPARSE_DIAG_NON_UNIT };
float *denseC1D = (float*)mkl_malloc(M * K * sizeof(float), 64);
sparse_operation_t operation = SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE; //默认 op(A)=A;
if (flag == 0) { //稀疏矩阵 op(A)=A
operation = SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE;
}
if (flag == 1) {//稀疏矩阵 op(A)=AT
operation = SPARSE_OPERATION_TRANSPOSE;
}
else if (flag == 2)
{ //稀疏矩阵 op(A)=AH
operation = SPARSE_OPERATION_CONJUGATE_TRANSPOSE;
}
else {//稀疏矩阵 op(A)=A
operation = SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE;
}
mkl_sparse_s_mm(operation, alpha, csrA, descr, SPARSE_LAYOUT_COLUMN_MAJOR, denseB1D, ncols, ldx, beta, denseC1D, ldy);
//将计算结果转为2维
for (int i = 0; i < K; i++) {
memcpy(denseC[i], denseC1D + i * M, M * sizeof(float));
}
mkl_free(denseB1D);
mkl_free(denseC1D);
}
if (allocType == 1) {
if (flag == 1 || flag == 2) { //转置或共轭转置，AT或AH
M = colsA;
N = rowsA;
K = colsC;
ncols = K;
ldx = K;
ldy = K;
}
else { //默认的情况下，A
M = rowsA;
N = colsA;
K = colsC;
ncols = N;
ldx = K;
ldy = K;
}
//将二维稠密矩阵B转为一维
float *denseB1D = (float*)mkl_malloc(N*K * sizeof(float), 64);
for (int i = 0; i < N; i++) {
memcpy(denseB1D + i * K, denseB[i], K * sizeof(float));
}
struct matrix_descr descr = { SPARSE_MATRIX_TYPE_GENERAL, SPARSE_FILL_MODE_FULL, SPARSE_DIAG_NON_UNIT };
float *denseC1D = (float*)mkl_malloc(M * K * sizeof(float), 64);
sparse_operation_t operation = SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE; //默认 op(A)=A;
if (flag == 0) { //稀疏矩阵 op(A)=A
operation = SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE;
}
if (flag == 1) {//稀疏矩阵 op(A)=AT
operation = SPARSE_OPERATION_TRANSPOSE;
}
else if (flag == 2)
{ //稀疏矩阵 op(A)=AH
operation = SPARSE_OPERATION_CONJUGATE_TRANSPOSE;
}
else {//稀疏矩阵 op(A)=A
operation = SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE;
}
mkl_sparse_s_mm(operation, alpha, csrA, descr, SPARSE_LAYOUT_ROW_MAJOR, denseB1D, ncols, ldx, beta, denseC1D, ldy);
//将计算结果转为2维
for (int i = 0; i < M; i++) {
memcpy(denseC[i], denseC1D + i * K, K * sizeof(float));
}
mkl_free(denseB1D);
mkl_free(denseC1D);
}
//释放
mkl_sparse_destroy(csrA);
mkl_sparse_destroy(cooA);
return true;
}
//根据已知坐标、元素值，创建CSR稀疏矩阵
sparse_matrix_t MKL_Coo2Csr(int* ia, int *ja, float *a, int nrows, int ncols, int nnz) {
//建立coo矩阵A 与 csrA矩阵
sparse_matrix_t cooA, csrA;
mkl_sparse_s_create_coo(&cooA,
SPARSE_INDEX_BASE_ZERO,
nrows, // number of rows
ncols, // number of cols
nnz, // number of nonzeros
ia,
ja,
a);
//coo转csr
mkl_sparse_convert_csr(cooA, SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE, &csrA);
//释放cooA矩阵
mkl_sparse_destroy(cooA);
//返回csrA矩阵
return csrA;
}
void Print_Sparse_Csr_Matrix(sparse_matrix_t csrA,int m,int n) {
sparse_index_base_t indexing;
int nrows;
int ncols;
MKL_INT* csr_row_start;
MKL_INT* csr_row_end;
MKL_INT* csr_col_indx;
float* csr_values;
mkl_sparse_s_export_csr(csrA, &indexing, &nrows, &ncols, &csr_row_start, &csr_row_end, &csr_col_indx, &csr_values);
float **A_dense = alloc2float(ncols, nrows);
memset(A_dense[0], 0, nrows*ncols * sizeof(float));
//将value转换为普通二维数组
for (int i = 0; i < nrows; i++) {
for (int j = csr_row_start[i]; j < csr_row_start[i + 1]; j++) {
A_dense[i][csr_col_indx[j]] = csr_values[j];
}
}
//输出稠密矩阵
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
printf("%f ", A_dense[i][j]);
}
printf("\n");
}
free2float(A_dense);
}
//Coo格式×Coo格式矩阵乘法
sparse_matrix_t MKL_Sparse_CooXCoo(
int* ia, int *ja, float *a, int rowsA, int colsA, int nnzA,
int* ib, int *jb, float *b, int rowsB, int colsB, int nnzB) {
//根据坐标创建csrA和csrB
sparse_matrix_t csrA, csrB, csrC;
csrA = MKL_Coo2Csr(ia, ja, a, rowsA, colsA, nnzA);
csrB = MKL_Coo2Csr(ib, jb, b, rowsB, colsB, nnzB);
//csrC创建
mkl_sparse_d_create_csr(&csrC,
SPARSE_INDEX_BASE_ZERO,
rowsA, // number of rows
colsB, // number of cols
NULL, // number of nonzeros
NULL,
NULL,
NULL);
mkl_sparse_spmm(SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE, csrA, csrB, &csrC);
//释放矩阵A和B
mkl_sparse_destroy(csrA);
mkl_sparse_destroy(csrB);
return csrC;
}
//稀疏矩阵求逆
bool MKL_Sparse_Inverse(float **Ainv, float *a, MKL_INT *ia, MKL_INT *ja, int nnz, int n, MKL_INT mtype) {
/*STEP1 根据输入数组创建COO格式稀疏矩阵*/
//由于CSR格式不易表示，所以采取的路线为通过坐标创建COO格式矩阵
//再通过mkl接口将COO矩阵转为CSR矩阵
sparse_matrix_t csrA, cooA;
sparse_status_t status = mkl_sparse_s_create_coo(&cooA,
SPARSE_INDEX_BASE_ZERO,
n, // 稀疏矩阵的行、列
n,
nnz, // 非零元素个数
ia,//行索引
ja,//列索引
a);//矩阵元素值
if (status != SPARSE_STATUS_SUCCESS) {
printf("Error creating COO sparse matrix.\n");
}
//coo转csr格式
mkl_sparse_convert_csr(cooA, SPARSE_OPERATION_NON_TRANSPOSE, &csrA);
/*STEP2 根据CSR格式稀疏矩阵得到其ia,ja,a三组数据*/
sparse_index_base_t indexing;
int nrows;
int ncols;
MKL_INT* ia_csr = (MKL_INT*)mkl_malloc(nnz * sizeof(MKL_INT), 64);//csr格式的行指针
MKL_INT* csr_row_end = (MKL_INT*)mkl_malloc(nnz * sizeof(MKL_INT), 64);
MKL_INT* ja_csr = (MKL_INT*)mkl_malloc(nnz * sizeof(MKL_INT), 64);//csr格式的列索引
float* a_csr = (float*)mkl_malloc(nnz * sizeof(float), 64);//csr格式的矩阵值
//利用mkl_sparse_s_export_csr接口实现
mkl_sparse_s_export_csr(csrA, &indexing, &nrows, &ncols, &ia_csr, &csr_row_end, &ja_csr, &a_csr);
/*Step3 设置稀疏矩阵参数*/
//初始化B矩阵和X矩阵
float *b = NULL; //保存单位矩阵用于求逆
float *x = NULL; //解矩阵
b = (float*)mkl_malloc(n*n * sizeof(float), 64);
x = (float*)mkl_malloc(n*n * sizeof(float), 64);
//将B矩阵初始化为单位阵
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (i == j) {
b[i*n + j] = 1;
}
else {
b[i*n + j] = 0;
}
}
}
//初始化pt
void *pt[64];
for (int i = 0; i < 64; i++)
{
pt[i] = 0;
}
//初始化矩阵相关控制参数
MKL_INT maxfct = 1;
MKL_INT mnum = 1;
MKL_INT phase = 1;
MKL_INT perm = 0;
MKL_INT nrhs = n;
MKL_INT error = 0;
MKL_INT msglvl = 0;
//设置iparm参数
MKL_INT iparm[64];
//批量初始化
for (int i = 0; i < 64; i++)
{
iparm[i] = 0;
}
iparm[0] = 1; //开启自定义
iparm[12] = 1; //提高准确性
iparm[27] = 1; //为float型
iparm[34] = 1; //初始索引为0
/*Step4 分析矩阵、数值分解、求解*/
phase = 13; //phase设置为13，表示分析、数值分解、求解阶段
PARDISO(pt, &maxfct, &mnum, &mtype, &phase, &n, a_csr, ia_csr, ja_csr, &perm, &nrhs, iparm, &msglvl, b, x, &error);
//将解矩阵copy给输出,即A的逆矩阵
for (int i = 0; i < n; i++) {
memcpy(Ainv[i], x + i * n, n * sizeof(float));
}
//释放矩阵内存
phase = -1; //phase设置为-1
PARDISO(pt, &maxfct, &mnum, &mtype, &phase, &n, a_csr, ia_csr, ja_csr, &perm, &nrhs, iparm, &msglvl, b, x, &error);
//释放内存
mkl_sparse_destroy(cooA);
mkl_sparse_destroy(csrA);
mkl_free(x);
mkl_free(b);
return true;
}
Ⅲ main.cpp
#include "MKL_Sparse_Methods.h"
#include "alloc.h"
#define M 6
#define N 5
#define K 4
void MKL_Sparse_CooXDense_Demo();
void MKL_Sparse_CooXCoo_Demo();
void MKL_Sparse_Inverse_Demo();
int main() {
MKL_Sparse_CooXDense_Demo();//稀疏乘稠密
MKL_Sparse_CooXCoo_Demo(); //稀疏×稀疏
MKL_Sparse_Inverse_Demo();//稀疏矩阵求逆
return 0;
}
//稀疏乘稠密
void MKL_Sparse_CooXDense_Demo() {
int flag = 0; /* flag=0时表示A(COO)*B(Dense)
flag=1时表示AT(COO)*B(Dense)*/
int rowsA, colsA;
if (flag == 0) {
rowsA = M, colsA = N;
}
else if (flag == 1) {
rowsA = N, colsA = M;
}
int rowsB = N, colsB = K;
int rowsC = M, colsC = K;
float Atemp[M][N] = {
{1,-1,-3,0,0},
{-2,5,0,0,0},
{0,0,4,6,4},
{-4,0,2,7,0},
{0,8,0,0,-5},
{1,0,0,0,0},
};
float ATtemp[N][M] = {
{1,-2,0,-4,0,1},
{-1,5,0,0,8,0},
{-3,0,4,2,0,0},
{0,0,6,7,0,0},
{0,0,4,0,-5,0},
};
float Btemp[N][K] = {
{1,-1,-3,0},
{-2,5,0,0},
{0,0,4,6},
{-4,0,2,7},
{0,8,0,0}
};
int allocType = 1;
//将一般二维数组转换为alloc表示
float **matrixA = alloc2float(colsA, rowsA);
memset(matrixA[0], 0, rowsA*colsA * sizeof(float));
float **matrixB = alloc2float(colsB, rowsB);
memset(matrixB[0], 0, rowsB*colsB * sizeof(float));
float **matrixC = alloc2float(colsC, rowsC);
memset(matrixC[0], 0, rowsC*colsC * sizeof(float));
//复制二维数组到二级指针
if (flag == 0) {
memcpy(matrixA[0], Atemp, rowsA*colsA * sizeof(float));
}
else if (flag == 1) {
memcpy(matrixA[0], ATtemp, rowsA*colsA * sizeof(float));
}
memcpy(matrixB[0], Btemp, rowsB*colsB * sizeof(float));
//统计二维数组的非零元素个数
int nnz = 0;
for (int i = 0; i < rowsA; i++) {
for (int j = 0; j < colsA; j++) {
//统计nnz
if (matrixA[i][j] != 0) {
nnz++;
}
}
}
//获取稠密矩阵的coo形式
MKL_INT *ia = (MKL_INT*)mkl_malloc(nnz * sizeof(MKL_INT), 64);
MKL_INT *ja = (MKL_INT*)mkl_malloc(nnz * sizeof(MKL_INT), 64);
float *a = (float*)mkl_malloc(nnz * sizeof(float), 64);
//获取coo数据
int k = 0;
for (int i = 0; i < rowsA; i++) {
for (int j = 0; j < colsA; j++) {
if (matrixA[i][j] != 0.0) {
a[k] = matrixA[i][j];
ia[k] = i;
ja[k] = j;
k++;
}
}
}
//执行矩阵乘法
MKL_Sparse_CooXDense(ia, ja, a, nnz, matrixB, matrixC, rowsA, colsA, colsC, flag, allocType);
/* 输出结果 */
printf("*************** MKL Sparse X Dense ***************\n ");
printf("=============== flag=%d ================\n", flag);
for (int i = 0; i < rowsC; i++) {
for (int j = 0; j < colsC; j++) {
printf("%f ", matrixC[i][j]);
}
printf("\n");
}
free2float(matrixA);
free2float(matrixB);
free2float(matrixC);
mkl_free(ia);
mkl_free(ja);
mkl_free(a);
}
//稀疏×稀疏
void MKL_Sparse_CooXCoo_Demo() {
int rowsA = M, colsA = N;
int rowsB = N, colsB = K;
int rowsC = M, colsC = K;
float Atemp[M][N] = {
{1,-1,-3,0,0},
{-2,5,0,0,0},
{0,0,4,6,4},
{-4,0,2,7,0},
{0,8,0,0,-5},
{1,0,0,0,0},
};
float Btemp[N][K] = {
{1,-1,-3,0},
{-2,5,0,0},
{0,0,4,6},
{-4,0,2,7},
{0,8,0,0}
};
//将一般二维数组转换为alloc表示
float **matrixA = alloc2float(colsA, rowsA);
memset(matrixA[0], 0, rowsA*colsA * sizeof(float));
float **matrixB = alloc2float(colsB, rowsB);
memset(matrixB[0], 0, rowsB*colsB * sizeof(float));
//复制二维数组到二级指针
memcpy(matrixA[0], Atemp, rowsA*colsA * sizeof(float));
memcpy(matrixB[0], Btemp, rowsB*colsB * sizeof(float));
//***********A矩阵稀疏表示
//统计二维数组的非零元素个数
int nnzA = 0; //A矩阵
for (int i = 0; i < rowsA; i++) {
for (int j = 0; j < colsA; j++) {
//统计nnz
if (matrixA[i][j] != 0) {
nnzA++;
}
}
}
//获取稠密矩阵的coo形式
MKL_INT *ia = (MKL_INT*)mkl_malloc(nnzA * sizeof(MKL_INT), 64);
MKL_INT *ja = (MKL_INT*)mkl_malloc(nnzA * sizeof(MKL_INT), 64);
float *a = (float*)mkl_malloc(nnzA * sizeof(float), 64);
//获取coo数据
int k = 0;
for (int i = 0; i < rowsA; i++) {
for (int j = 0; j < colsA; j++) {
if (matrixA[i][j] != 0.0) {
a[k] = matrixA[i][j];
ia[k] = i;
ja[k] = j;
k++;
}
}
}
//***********B矩阵稀疏表示
int nnzB = 0; //B矩阵
for (int i = 0; i < rowsB; i++) {
for (int j = 0; j < colsB; j++) {
//统计nnz
if (matrixB[i][j] != 0) {
nnzB++;
}
}
}
//获取稠密矩阵的coo形式
MKL_INT *ib = (MKL_INT*)mkl_malloc(nnzB * sizeof(MKL_INT), 64);
MKL_INT *jb = (MKL_INT*)mkl_malloc(nnzB * sizeof(MKL_INT), 64);
float *b = (float*)mkl_malloc(nnzB * sizeof(float), 64);
//获取coo数据
k = 0;
for (int i = 0; i < rowsB; i++) {
for (int j = 0; j < colsB; j++) {
if (matrixB[i][j] != 0.0) {
b[k] = matrixB[i][j];
ib[k] = i;
jb[k] = j;
k++;
}
}
}
sparse_matrix_t csrC = MKL_Sparse_CooXCoo(ia, ja, a, rowsA, colsA, nnzA, ib, jb, b, rowsB, colsB, nnzB);
printf("*************** MKL Sparse X Sparse ***************\n ");
Print_Sparse_Csr_Matrix(csrC, rowsC, colsC); //打印矩阵C结果
mkl_sparse_destroy(csrC);
mkl_free(ia);
mkl_free(ja);
mkl_free(a);
mkl_free(ib);
mkl_free(jb);
mkl_free(b);
free2float(matrixA);
free2float(matrixB);
}
//稀疏矩阵求逆
void MKL_Sparse_Inverse_Demo() {
int rowsA = N, colsA = N;
float Atemp[N][N] = {
{1,2,4,0,0},
{2,2,0,0,0},
{4,0,3,0,0},
{0,0,0,4,0},
{0,0,0,0,5},
};
//将一般二维数组转换为alloc表示
float **matrixA = alloc2float(colsA, rowsA);
memset(matrixA[0], 0, rowsA*colsA * sizeof(float));
float **matrixA_inv = alloc2float(colsA, rowsA);
memset(matrixA[0], 0, rowsA*colsA * sizeof(float));
//复制二维数组到二级指针
memcpy(matrixA[0], Atemp, rowsA*colsA * sizeof(float));
//统计二维数组的非零元素个数
int nnz = 0;
for (int i = 0; i < rowsA; i++) {
for (int j = 0; j < colsA; j++) {
//统计nnz
if (matrixA[i][j] != 0) {
nnz++;
}
}
}
//获取稠密矩阵的coo形式
MKL_INT *ia = (MKL_INT*)mkl_malloc(nnz * sizeof(MKL_INT), 64);
MKL_INT *ja = (MKL_INT*)mkl_malloc(nnz * sizeof(MKL_INT), 64);
float *a = (float*)mkl_malloc(nnz * sizeof(float), 64);
//获取coo数据
int k = 0;
for (int i = 0; i < rowsA; i++) {
for (int j = 0; j < colsA; j++) {
if (matrixA[i][j] != 0.0) {
a[k] = matrixA[i][j];
ia[k] = i;
ja[k] = j;
k++;
}
}
}
MKL_INT mtype = 11; //设置矩阵类型为一般实矩阵
MKL_Sparse_Inverse(matrixA, a, ia, ja, nnz, rowsA, mtype);
printf("*************** MKL Sparse Matrix Inverse ***************\n ");
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
printf("%f ", matrixA[i][j]);
}
printf("\n");
}
free2float(matrixA);
free2float(matrixA_inv);
mkl_free(ia);
mkl_free(ja);
mkl_free(a);
}