计算机组成原理（二）运算方法和运算器

数制与编码

字符和字符串的表示方法

ASCII码

ASCII码字符系统有128个元素，因此二进制编码需要7位，加上一个偶校验码，共八位，刚好一个字节。规定8位最高位为0，余下7位可以给出128个编码。
128个编码中，有95个可显示字符，编号范围是32-126。33个控制字符，编号范围是0-31和127。

汉字编码

输入编码：数字编码、拼音码、字型编码等
汉字内码：汉字信息的存储，交换和检索的机内代码，两个字节组成，每个字节高位都为1
输出编码：字模码

定点数和浮点数的表示

定点数即所有数据的小数点位置固定不变，分为定点小数和定点整数。
为了方便对数据进行运算时处理符号位与数值位的问题，计算机将符号位与数值位一起编码来表示数据，这些编码称为机器码。

定点数表示方法

机器码表示部分比较简单不再赘述，可参考https://blog.csdn.net/btufdycxyffd/article/details/127775989?spm=1001.2014.3001.5502
原码表示法
反码表示法
补码表示法
原码变成补码的方法：

1. 原码符号位为1不变，整数的每一位二进制数位求反得到反码
2. 反码符号位为1保持不变，反码数值位最低位加1，得到补码

移码表示法
移码通常用于表示浮点数的阶码。
移码和补码尾数相同，符号位相反

浮点数表示方法

浮点数即数据的小数点位置可在一定范围内浮动。
当前计算机采用IEEE754标准中的格式表示浮点数。规定32位短浮点数和64位长浮点数的标准格式为

S表示符号位，E是阶码，M是尾数，尾数用原码,指数用移码(便于对阶和比较)。
当尾数的值不为0时，尾数域的最高有效位为1。形式为：1.M，最高位1视为隐藏在小数点左侧，提高数据表示精度。
阶码采用移码方式（加上一个固定的偏移值），将指数真值e变为阶码E时，加上固定偏移值127，即E= e+127。
机器零：当一个浮点的尾数为0，不论阶码为何值；或当阶码的值比阶码的最小值还小，不论尾数为何值，视为机器零。
基数R=2，基数固定，采用隐含方式来表示它。

规格化：
原码：尾数的最高数位必须是一个有效值。
补码：尾数的最高数位必须与尾数符号位相反。

为什么要规格化？
答：若不对浮点数的表示作出明确规定，同一个浮点数的表示就不是唯一的。
规格化的32位浮点数x的真值为：

规格化的64位浮点数x的真值为：

浮点数的表示范围

例题：若浮点数x的二进制存储格式为(43AC0000)16，求其32位浮点数的十进制值。
解：将16进制数展开后，可得二进制数格式为：

指数e=阶码-127=10000111-01111111=00001000=(8)10
隐藏位1的尾数1.M=1.010 1100 0000 0000 0000=1.01011

所以真值：

定点数和浮点数的运算

定点数的运算

补码加法

[x+y]补=[x]补+[y]补 (mod 2n+1)

补码减法

口诀：求反且最末位加1
[x-y]补=[x]补- [y]补= [x]补+ [-y]补
[-y]补 = -[y]补 （mod 2n+1）
[-y]补 = [y]补取反 + 2-n
溢出概念与检测方法

溢出的概念 ：在运算中出现大于字长绝对值的现象

溢出检测方法：双符号位法（变形补码）、单符号位法
双符号位法
[x]补 = 2n+2 + x 　 ( mod 2n+2 )

Sf1 表示正确的符号，逻辑表达式为V=Sf1 ⊕ Sf2
例题：x=+01100 , y=+01000 , 求 x+y 。

定点乘法

阵列乘法器： 采用流水式阵列乘法器，取代串行方案
[x]原=xf.xn-1…x1x0 [y]原=yf.yn-1…y1y0[x.y]原=(xf ⊕ yf)+(xn-1…x1x0).(yn-1…y1y0)
两个原码表示的数相乘的运算规则是：乘积的符号位由两个数的符号位按异或运算得到，数值位按两个整数相乘之积得到。

不带符号位的阵列乘法器
带符号位的阵列乘法器
求补电路：

E=0时，输入和输出相等，E=1时，则从数最右端往左边扫描，直到第一个1的时候，该位和右边各位保持不变，左边各数值位按位取反
直接的原码乘法：输入原码并做乘法时，不需要算前求补、算后求补。立即可得乘积。
例题：设x=+15，y=-13，用带求补器的原码阵列乘法器求出乘积 x·y=?

间接的补码乘法：输入补码并作乘法时，需要算前求补，得各数的绝对值。经算后求补器，得乘积的补码。

例题：设x=-15，y=-13，用带求补器的补码阵列乘法器求出乘积 x·y=? 并用十进制数乘法进行验证。

定点除法

设有n位定点小数（定点整数也适用）被除数x，[x]原=xf.xn-1…x1x0除数y，[y]原=yf.yn-1…y1y0
则有商q=x/y，[q]原=(xf⊕yf)＋(0.xn-1…x1x0/0.yn-1…y1y0)
商的符号运算qf=xf⊕yf与原码乘法一样，用模2求和得到。

原码恢复余数法

人工除法时，人可以比较被除数（余数）和除数的大小来确定商1（够减）或商0（不够减） 机器除法时，余数为正表示够减，余数为负表示不够减。不够减时必须恢复原来余数，才能继续向下运算。
这种方法叫恢复余数法，控制比较复杂。

原码不恢复余数法(加减交替法)

余数为正，商1，下次除数右移做减法；
余数为负，商0，下次除数右移做加法。
运算步数固定，控制简单，有规律。
例题：ｘ＝0.101001, ｙ＝0.111, 求ｘ÷ｙ。

不恢复余数的阵列除法器

浮点数的运算

浮点数的加、减法运算
设有两个浮点数ｘ和ｙ,它们分别为
ｘ＝2E^ｘ·Mｘ ｙ＝2E^ｙ·Mｙ　　
其中Ex和Ey分别为数ｘ和ｙ的阶码，Mx和My为数ｘ和ｙ的尾数。
两浮点数进行加法和减法的运算规则是：ｘ±ｙ＝(Mｘ2^{(Eｘ－Eｙ)±Mｙ)2}Eｙ

运算步骤

1. 0操作数检查；遇0时，可做旁路处理
2. 比较阶码并完成对阶（小阶向大阶对齐）；

规则是阶码小的向阶码大的数对齐；小阶对大阶；
△E =[Ex]补-[Ey]补

• 若阶差△E＝0,表示两数阶码相等,即Eｘ＝Eｙ；
• 若阶差△E>0,表示Eｘ>Eｙ；
• 若阶差△E<0,表示Eｘ
• 当Eｘ≠Eｙ时,要通过尾数的移动以改变Eｘ或Eｙ,使之相等。

3. 尾数加、减运算；
4. 结果规格化；

这部分我也不太懂，详细参考https://blog.csdn.net/weixin_43715360/article/details/120256108

若尾数求和结果符号位用双符号位表示，结果得到10.&&&&&或01.&&&&&，即双符号位不相等，在定点加减法运算中称为溢出。浮点运算中表明运算结果绝对值大于1，破坏了规格化，此时要右移规格化处理。而数值位最高位无效时（注意原码和补码不同），通过左移尾数，使数值最高位有效。

• 右规处理：当尾数运算有溢出时，右移1位，阶码加1。
• 左规处理：当尾数运算无溢出时，且尾数不是1.M（这部分不太懂，还有例题也是，不知道对不对，先写下来）时，则尾数左移1位，阶码减1。

5. 舍入处理；

• 就近舍入(0舍1入):类似”四舍五入”,丢弃的最高位为1
• 进1朝0舍入:截尾
• 朝＋∞舍入:正数多余位不全为”0”,进1;负数,截尾
• 朝－∞ 舍入:负数多余位不全为”0”,进1;正数,截尾

6. 溢出处理。

阶码上溢，一般将其认为是＋∞和－∞ 。阶码下溢，则数值为0。

例题：设x＝2^010 ×0.11011011,y=-2^100×0.10101100，求x+y 。
解：设阶码及尾数都用补码表示
[x]浮补=00010, 0.11011011; [y]浮补=00100, 1.01010100
① 0操作数检查（非0）：提高运算速度

② 对阶：阶码对齐后才能加减

此题阶差△E =[Ex]补-[Ey]补=00010-00100=11110=-2D
即阶差为-2，Mx右移两位，Ex加2。
[x]浮补=00100, 0.00110110(11)

③ 尾数相加或相减

④ 结果规格化
尾数不是1.M，左规格化处理，变为1.00010101(10)，阶码00100减1变为00011
⑤ 舍入处理
采用就近舍入（0舍1入）法处理，得到 1.00010110。
⑥ 溢出判断和处理
阶码符号位为00，无溢出。得最终结果为 x+y = 2^011×(-0.11101010)
浮点数的乘、除法运算

运算步骤与上面一样

运算器的组成

运算器是由算术逻辑单元(ALU)（核心）、累加器、状态寄存器、通用寄存器组等组成的。

运算器的主要功能是完成对数据的算术和逻辑运算，由其内部的一个被称之为算术与逻辑运算部件(ALU)承担，它在给出运算结果的同时，还给出结果的某些特征，如溢出否，有无进位输出，结果是否为零、为负等，这些结果特征信息通常被保存在几个特定的触发器中。
在执行指令的过程中，必须向ALU提供其执行何种运算的控制信号。

寄存器的功能：暂存将参加运算的数据和中间结果，这些寄存器可以被汇编程序员直接访问，通称通用寄存器，以区别于那些计算机内部设置的、不能为汇编程序人员访问的专用寄存器。

算数逻辑单元（ALU）

ALU有2个单元，一个是算术单元和一个逻辑单元。
算术单元：负责计算机里的数字操作，比如加减法。
逻辑单元：负责计算机中的逻辑运算，比如与、或、非、异或等。
除此之外ALU还有辅助功能：移位，求补等。

算数单元

一位全加器：最基本的加法单元，输入两位加数及低位的进位，输出和与高位进位
串行加法器：一位全加器的简单相连，串行进位
并行加法器：使用先行进位提高加法器的运算速度
74181ALU逻辑电路图

算术逻辑运算的实现（74181ALU）
① M=L=0时，对进位信号没有影响，做算术运算
② M=H=1时，进位门被封锁，做逻辑运算

逻辑单元

逻辑单元执行逻辑操作，比如AND，OR和NOT操作，它也能做简单的数值测试，比如一个数字是不是负数。

内部总线

机器内部各部份数据传送频繁，为了减少内部数据传送线并便于控制，可以把寄存器间的数据传送通路加以归并，组成总线结构。
总线分类：
所处位置

• 内部总线（CPU内）
• 外部总线（系统总线）

逻辑结构

• 单向传送总线
• 双向传送总线

运算器的基本结构

单总线结构的运算器

双总线结构的运算器

三总线结构的运算器