P3853 [TJOI2007]路标设置——二分答案

[TJOI2007]路标设置

题目背景

B 市和 T 市之间有一条长长的高速公路，这条公路的某些地方设有路标，但是大家都感觉路标设得太少了，相邻两个路标之间往往隔着相当长的一段距离。为了便于研究这个问题，我们把公路上相邻路标的最大距离定义为该公路的“空旷指数”。

题目描述

现在政府决定在公路上增设一些路标，使得公路的“空旷指数”最小。他们请求你设计一个程序计算能达到的最小值是多少。请注意，公路的起点和终点保证已设有路标，公路的长度为整数，并且原有路标和新设路标都必须距起点整数个单位距离。

输入格式

第 $1$ 行包括三个数 $L,N,K$，分别表示公路的长度，原有路标的数量，以及最多可增设的路标数量。

第 $2$ 行包括递增排列的 $N$ 个整数，分别表示原有的 $N$ 个路标的位置。路标的位置用距起点的距离表示，且一定位于区间 $[0,L]$ 内。

输出格式

输出 $1$ 行，包含一个整数，表示增设路标后能达到的最小“空旷指数”值。

样例 #1

样例输入 #1

101 2 1
0 101
1
2

样例输出 #1

51
1

提示

公路原来只在起点和终点处有两个路标，现在允许新增一个路标，应该把新路标设在距起点 $50$ 或 $51$ 个单位距离处，这样能达到最小的空旷指数 $51$。

$50\%$ 的数据中，$2\le N\le 100$，$0\le K\le 100$。

$100\%$ 的数据中，$2\le N\le 100000$, $0\le K\le 100000$。

$100\%$ 的数据中，$0<L\le 10000000$。

分析

1. 二分空旷指数，通过一个check函数去判断是否满足当空旷指数为x，不超过k个路标；对于一个mid判断后，分别做出相应处理即可；
2. check函数这里，需要注意，当a[i] - last > x说明当前这个路标a[i]和上一个路标last不满足指定的空旷指数，需要在这中间新增路标（新增的可能不止一个，新增未知个，至到满足当前路标a[i]和新增的路标满足空旷指数），通过i–拉回来，继续让a[i]进行比；

#include

using namespace std;

int l, n, k, ans;
int a[100010];

//判断是否满足当空旷指数为x，不超过k个路标
bool check(int x) {
    int last = 0;
    int cnt = 0;//当前空旷指数，所需路标数
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (a[i] - last > x) {
            //需要新加路标
            cnt++;
            //让这个路标(i--完成再回来)和新添加的路标再进行比较，如果还不够，继续再加路标，还让当前这个比,通过i--还让他回来（循环加，至到满足）
            i--;//for循环++了，--拉回来
            last += x;//新增的路标距离起点的距离
        } else {
            last = a[i];
        }
    }
    return cnt <= k;
}

int main() {
    cin >> l >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
    }
    int left = 1, right = l, mid;
    while (left <= right) {
        mid = left + (right - left) / 2;
        if (check(mid)) {
            //空旷指数可以更小
            ans = mid;
            right = mid - 1;
        } else {
            //k个路标不够用，增大空旷指数
            left = mid + 1;
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

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