多目标优化算法：基于非支配排序的蜣螂优化算法（Non-Dominated Sorting Dung beetle optimizer，NSDBO）

蜣螂优化算法（Dung beetle optimizer，DBO）由Jiankai Xue和Bo Shen于2022年提出，该算法主要受蜣螂的滚球、跳舞、觅食、偷窃和繁殖行为的启发所得。

一、蜣螂优化算法

1.1蜣螂滚球

（1）当蜣螂前行无障碍时，蜣螂在滚粪球过程中会利用太阳进行导航，下图中红色箭头表示滚动方向

本文假设光源的强度会影响蜣螂的位置，蜣螂在滚粪球过程中位置更新如下：

x i ( t + 1 ) = x i ( t ) + α × k × x i ( t − 1 ) + b × Δ x , Δ x = ∣ x i ( t ) − X w ∣

xi​(t+1)Δx​=xi​(t)+α×k×xi​(t−1)+b×Δx,=∣xi​(t)−Xw∣​
其中，$t$表示当前迭代次数，$x_i(t)$表示第$i$次蜣螂在第t次迭代中的位置信息，$k\in (0,0.2]$为扰动系数，$b$为 $(0,1)$ 之间的随机数，$\alpha$取 -1 或 1 ，$X^w$表示全局最差位置，$\Delta x$用于模拟光的强度变化。
其中，$\alpha$的取值采用算法1：

（2）当蜣螂遇到障碍物无法前进时，它需要通过跳舞来重新调整自己，以获得新的路线。本文使用切线函数来模仿跳舞行为，以此获得新的滚动方向，滚动方向仅考虑为$[0,\pi ]$之间。

蜣螂一旦成功确定新的方向，它应该继续向后滚动球。蜣螂的位置更新如下：
$$x_i(t+1)=x_i(t)+\tan (\theta )\left|x_i(t)-x_i(t-1)\right|$$
其中，$\theta$为偏转角，其取值为$[0,\pi ]$，采用算法2：

1.2蜣螂繁殖

在自然界中，雌性蜣螂将粪球被滚到适合产卵的安全地方并将其隐藏起来，以此为后代提供一个安全的环境。受此启发，因而提出了一种边界选择策略以此模拟雌性蜣螂产卵的区域：
L b ∗ = max ⁡ ( X ∗ × ( 1 − R ) , L b ) U b ∗ = min ⁡ ( X ∗ × ( 1 + R ) , U b )

Lb∗=max(X∗×(1−R),Lb)Ub∗=min(X∗×(1+R),Ub)​
其中，$X^{\ast }$表示当前最优位置，$L{b}^{\ast }$和$U{b}^{\ast }$分别表示产卵区的下限和上限，$R=1-t/T_{max}$，$T_{max}$表示最大迭代次数，$Lb$和$Ub$分别表示优化问题的下限和上限。
雌性蜣螂一旦确定了产卵区，就会选择在该区域育雏球产卵。每只雌性蜣螂在每次迭代中只产生一个卵，可以看出，产卵区的边界范围是动态变化的，主要由R值决定。因此，育雏球的位置在迭代过程中也是动态的，其定义如下：
$$B_i(t+1)=X^{\ast }+b_1\times \left(B_i(t)-L{b}^{\ast }\right)+b_2\times \left(B_i(t)-U{b}^{\ast }\right)$$
其中，$B_i(t)$表示第t次迭代中第 i个育雏球的位置信息，$b_1$和$b_2$均为1×D的随机向量，D表示优化问题的维度。
产卵区的选择如算法3所示：

1.3蜣螂觅食

雌性蜣螂所产的卵会逐渐长大，一些已经成熟的小蜣螂会从地下出来寻找食物，小蜣螂的最佳觅食区建模如下：
L b b = max ⁡ ( X b × ( 1 − R ) , L b ) U b b = min ⁡ ( X b × ( 1 + R ) , U b )

Lbb=max(Xb×(1−R),Lb)Ubb=min(Xb×(1+R),Ub)​
其中，$X^b$表示全局最优位置，$L{b}^b$和$U{b}^b$分别表示最佳觅食区的下限和上限。

小蜣螂的位置更新如下：
$$x_i(t+1)=x_i(t)+C_1\times \left(x_i(t)-L{b}^b\right)+C_2\times \left(x_i(t)-U{b}^b\right)$$
其中，$x_i(t)$表示第t次迭代中第i只小蜣螂在的位置，$C_1$是服从正态分布的随机数，$C_2$为(0,1)的随机向量。

1.4蜣螂偷窃

另一方面，一些蜣螂从其他蜣螂那里偷粪球，盗贼蜣螂的位置更新如下：

$$x_i(t+1)=X^b+S\times g\times \left(\left|x_i(t)-X^{\ast }\right|+\left|x_i(t)-X^b\right|\right)$$
其中，$x_i(t)$表示在第t次迭代中第i个盗贼蜣螂的位置，g为服从正态分布的1×D随机向量，S为常数。

1.5 DBO算法流程

滚球蜣螂、繁殖蜣螂、觅食蜣螂和偷窃蜣螂的比例分布如下：

DBO算法描述如下：

参考文献：Xue, J., Shen, B. Dung beetle optimizer: a new meta-heuristic algorithm for global optimization. J Supercomput (2022). https://doi.org/10.1007/s11227-022-04959-6

二、非支配排序的蜣螂优化算法

基于非支配排序的蜣螂优化算法（Non-Dominated Sorting Dung beetle optimizer，NSDBO）由蜣螂优化算法与非支配排序策略结合而成。将NSDBO用于求解46个多目标测试函数（ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6、DTLZ1-DTLZ7、WFG1-WFG10、UF1-UF10、CF1-CF10、Kursawe、Poloni、Viennet2、Viennet3）以及1个工程应用（盘式制动器设计）,并采用IGD、GD、HV、SP进行评价。

close all;
clear ; 
clc;
%%
% TestProblem测试问题说明：
%一共46个多目标测试函数，详情如下：
%1-5:ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6
%6-12：DZDT1-DZDT7
%13-22：wfg1-wfg10
%23-32：uf1-uf10
%33-42：cf1-cf10
%43-46:Kursawe、Poloni、Viennet2、Viennet3
%47 盘式制动器设计 温泽宇,谢珺,谢刚,续欣莹.基于新型拥挤度距离的多目标麻雀搜索算法[J].计算机工程与应用,2021,57(22):102-109.
%%
TestProblem=1;%1-47
MultiObj = GetFunInfo(TestProblem);
MultiObjFnc=MultiObj.name;%问题名
% Parameters
params.Np = 200;        % Population size
params.Nr = 200;        % Repository size
params.maxgen =300;    % Maximum number of generations
numOfObj=MultiObj.numOfObj;%目标函数个数
D=MultiObj.nVar;%维度
f = NSDBO(params,MultiObj);
X=f(:,1:D);%PS
Obtained_Pareto=f(:,D+1:D+numOfObj);%PF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
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22
23
24
25
26

部分结果如下：

ZDT1：

ZDT2：

ZDT3：

ZDT4：

ZDT6：

DTLZ6：

Viennet2：

盘式制动器设计：

三、参考代码

文件夹内包含NSDBO求解46个多目标测试函数（ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6、DTLZ1-DTLZ7、WFG1-WFG10、UF1-UF10、CF1-CF10、Kursawe、Poloni、Viennet2、Viennet3）以及1个工程应用（盘式制动器设计）的全部MATLAB代码,同时提供评价指标IGD、GD、HV和SP的完整程序，点击Main.m即可运行。完整代码获取请添加博客下方博主微信