【泛函分析】第一纲集和第二纲集

第一纲集和第二纲集

定义. 设 $X$ 是距离空间, 集合 $A\subset X$, 若 $A$ 可以表示为有限或可列个疏朗集的并, 则称 $A$ 是第一纲集; 不是第一纲集的集合是第二纲集.

Baire纲定理: 完备的距离空间是第二纲集

证明:

用反证法, 若 $X$ 是第一纲集, 则 $X$ 可以表示为有限或可列个疏朗集的并, 设
$$X=\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n$$
其中 { A n } \{A_{n}\} {An​} 是一列疏朗集. 设 $S$ 是任意闭球, 由于 $A_1$ 是疏朗集, 所以存在闭球 $B_1\subset S$, $B_1\cap A_1=\varnothing$, 取 $B_1$ 的一个满足半径小于等于 $1$ 的子球作为 $S_1$, 由于 $A_2$ 是疏朗集, 所以存在闭球 $B_2\subset S_1$, $B_2\cap A_2=\varnothing$, 取 $B_2$ 的一个满足半径小于等于 $\frac{1}{2}$ 的子球作为 $S_2$, 这样进行下去, 得到一列闭球 { S n } \{S_{n}\} {Sn​}, 满足
$$S_n\subseteq S_{n-1},S_n\cap A_m=\varnothing ,\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{+},m\le n$$
且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2^{n-1}}$ ($r_n$ 为 $S_n$ 的半径), 由于 $X$ 是完备空间, 由闭球套定理, 存在唯一的 $x\in X$, 且 $x\in \bigcap _{n=1}^{\infty }{S}_n$. 由于 $S_n\cap A_n=\varnothing$, 所以 $x\notin A_n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{+}$, 进而 $x\notin X$, 矛盾.