动手学深度学习（2）—— 线性神经网络

线性神经网络

线性回归

• 线性模型

而在机器学习领域, 我们通常使用的是高维数据集, 建模时采用线性代数表示法会比较方便。当我们的输入 包含 $d$ 个特征时，我们将预测结果 $\hat{y}$ （通常使用 “尖角”符号表示 $y$ 的估计值）表示为：

$$\hat{y}=w_1{x}_1+\dots +w_d{x}_d+b.$$

将所有特征放到向量 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d$ 中，并将所有权重放到向量$\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^d$中，我们可以用点积形式来简洁地表达模型 :

$$\hat{y}={\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}+b.$$

向量$\mathbf{x}$ 对应于单个数据样本的特征。用符号表示的矩阵$\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$可以很方便地引用我们整个数 据集的$d$个样本。其中, $\mathbf{X}$ 的每一行是一个样本, 每一列是一种特征。
对于特征集合$\mathbf{x}$, 预测值$\hat{\mathbf{y}}\in {\mathbb{R}}^n$可以通过矩阵-向量乘法表示为 :

$$\hat{\mathbf{y}}=\mathbf{X}\mathbf{w}+b$$

在开始寻找最好的模型参数（model parameters）w和b之前，我们还需要两个东西：（1）⼀种模型质量的度量⽅式；（2）⼀种能够更新模型以提⾼模型预测质量的⽅法。

• 损失函数

在我们开始考虑如何⽤模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定⼀个拟合程度的度量。损失函数（loss function）能够量化⽬标的实际值与预测值之间的差距。

通常我们会选择⾮负数作为损失，且数值越⼩表⽰损失越⼩，完美预测时的损失为 0 。回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。当样本 $i$ 的预测值为${\hat{y}}^{(i)}$, 其相应的真 实标签为$y^{(i)}$时，平方误差可以定义为以下公式：

$$l^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{2}{\left({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)}\right)}^2.$$

为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集n个样本上的损失均值（也等价于求和）。

$$L(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)}^2.$$

在训练模型时, 我们希望寻找一组参数$\left({\mathbf{w}}^{\ast },b^{\ast }\right)$, 这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式 :

$${\mathbf{w}}^{\ast },b^{\ast }=\underset{\mathbf{w},b}{\mathrm{argmin}}L(\mathbf{w},b).$$

• 解析解

线性回归的解可以⽤⼀个公式简单地表达出来，这类解叫作解析解（analytical solution）。

将损失关于w的导数设为0，得到解析解：${\mathbf{w}}^{\ast }={\left({\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{X}\right)}^{-1}{\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{y}$

• 随机梯度下降

即使在我们⽆法得到解析解的情况下，我们仍然可以有效地训练模型。我们⽤到⼀种名为**梯度下降（gradient descent）**的⽅法，这种⽅法⼏乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的⽅向上更新参数来降低误差。

梯度下降最简单的⽤法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）关于模型参数的导数（在这⾥也可以称为梯度）。但实际中的执⾏可能会⾮常慢：因为在每⼀次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取⼀⼩批样本，这种变体叫做⼩批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。
在每次迭代中，我们⾸先随机抽样⼀个⼩批量B，它是由固定数量的训练样本组成的。然后，我们计算⼩批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。最后，我们将梯度乘以⼀个预先确定的正数η，并从当前参数的值中减掉。

我们⽤下⾯的数学公式来表⽰这⼀更新过程（∂表⽰偏导数）：

$$(\mathbf{w},b)\leftarrow (\mathbf{w},b)-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_{(\mathbf{w},b)}{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)$$

总结⼀下，算法的步骤如下：

（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；

（2）从数据集中随机抽取⼩批量样本且在负梯度的⽅向上更新参数，并不断迭代这⼀步骤。对于平⽅损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:

w ← w − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B ∂ w l ( i ) ( w , b ) = w − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B x ( i ) ( w ⊤ x ( i ) + b − y ( i ) ) , b ← b − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B ∂ b l ( i ) ( w , b ) = b − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B ( w ⊤ x ( i ) + b − y ( i ) ) .

​w←w−∣B∣η​i∈B∑​∂w​l(i)(w,b)=w−∣B∣η​i∈B∑​x(i)(w⊤x(i)+b−y(i)),b←b−∣B∣η​i∈B∑​∂b​l(i)(w,b)=b−∣B∣η​i∈B∑​(w⊤x(i)+b−y(i)).​

B|表⽰每个⼩批量中的样本数，这也称为批量⼤⼩（batch size）。η表⽰学习率（learning rate）。批量⼤⼩和学习率的值通常是⼿动预先指定，⽽不是通过模型训练得到的。这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的，⽽训练迭代结果是在独⽴的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

事实上，更难做到的是找到⼀组参数，这组参数能够在我们从未⻅过的数据上实现较低的损失，这⼀挑战被称为泛化（generalization）。

线性回归从零开始的实现

%matplotlib inline
import random
import torch
from d2l import torch as d2l
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生成数据集

我们使用线性模型参数$\mathbf{w}=[2,-3.4{]}^{\top }、b=4.2$和噪声项$ϵ$生成数据集及其标签:

$$\mathbf{y}=\mathbf{X}\mathbf{w}+b+ϵ.$$

你可以将$ϵ$ 视为模型预测和标签时的潜在观测误差。在这里我们认为标准假设成立, 即 $ϵ$ 服从均值为 0 的正态分布。为了简化问题，我们将标准差设为$0.01$。下面的代码生成合成数据集。

def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save
    """生成y=Xw+b+噪声"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
    y = torch.matmul(X, w) + b
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
    return X, y.reshape((-1, 1))

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)
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注意，features中的每一行都包含一个二维数据样本， labels中的每一行都包含一维标签值（一个标量）。

print('features:', features[0],'\nlabel:', labels[0])
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features: tensor([-0.1413,  0.9253])
label: tensor([0.7524])
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读取数据集

训练模型时要对数据集进行遍历，每次抽取一小批量样本，并使用它们来更新我们的模型。 由于这个过程是训练机器学习算法的基础，所以有必要定义一个函数， 该函数能打乱数据集中的样本并以小批量方式获取数据。

在下面的代码中，我们定义一个data_iter函数， 该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入，生成大小为batch_size的小批量。 每个小批量包含一组特征和标签。

def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features) # python 矩阵中的len() 方法用于获取矩阵的行
    indices = list(range(num_examples)) 
		# range函数返回一个range对象实例。实例包含了计数的起始位置、终点位置和步长等信息。
		# list()函数是Python的内置函数。它可以将任何可迭代数据转换为列表类型，并返回转换后的列表。当参数为空时，list函数可以创建一个空列表。
    # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
    random.shuffle(indices)
		# shuffle()方法将序列的所有元素随机排列
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = torch.tensor(
            indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices] 
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通常，我们利用GPU并行运算的优势，处理合理大小的“小批量”。 每个样本都可以并行地进行模型计算，且每个样本损失函数的梯度也可以被并行计算。

我们直观感受一下小批量运算：读取第一个小批量数据样本并打印。 每个批量的特征维度显示批量大小和输入特征数。 同样的，批量的标签形状与batch_size相等。

batch_size = 10

for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
    print(X, '\n', y)
    break
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tensor([[-0.0929,  0.3136],
        [-0.4081,  0.5990],
        [ 1.2006, -0.8625],
        [ 2.8351,  1.2113],
        [ 0.4811,  1.6206],
        [-1.5946,  0.7590],
        [-0.7296,  2.0734],
        [ 1.4357, -0.4068],
        [-1.1405, -0.0359],
        [ 0.6749,  0.9677]])
 tensor([[ 2.9562],
        [ 1.3347],
        [ 9.5308],
        [ 5.7467],
        [-0.3549],
        [-1.5650],
        [-4.3218],
        [ 8.4510],
        [ 2.0353],
        [ 2.2612]])
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初始化模型参数

在我们开始用小批量随机梯度下降优化我们的模型参数之前， 我们需要先有一些参数。 在下面的代码中，我们通过从均值为0、标准差为0.01的正态分布中采样随机数来初始化权重， 并将偏置初始化为0。

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
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在初始化参数之后，我们的任务是更新这些参数，直到这些参数足够拟合我们的数据。 每次更新都需要计算损失函数关于模型参数的梯度。 有了这个梯度，我们就可以向减小损失的方向更新每个参数。 因为手动计算梯度很枯燥而且容易出错，所以没有人会手动计算梯度。 我们使用自动微分来计算梯度。

定义模型

接下来，我们必须定义模型，将模型的输入和参数同模型的输出关联起来。 回想一下，要计算线性模型的输出， 我们只需计算输入特征X和模型权重w的矩阵-向量乘法后加上偏置b。

def linreg(X, w, b):  #@save
    """线性回归模型"""
    return torch.matmul(X, w) + b
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定义损失函数

因为需要计算损失函数的梯度，所以我们应该先定义损失函数。 这里我们使用平方损失函数。 在实现中，我们需要将真实值y的形状转换为和预测值y_hat
的形状相同。

def squared_loss(y_hat, y):  #@save
    """均方损失"""
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2
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定义优化算法

这里我们介绍小批量随机梯度下降。

在每一步中，使用从数据集中随机抽取的一个小批量，然后根据参数计算损失的梯度。 接下来，朝着减少损失的方向更新我们的参数。 下面的函数实现小批量随机梯度下降更新。 该函数接受模型参数集合、学习速率和批量大小作为输入。每 一步更新的大小由学习速率lr决定。 因为我们计算的损失是一个批量样本的总和，所以我们用批量大小（batch_size） 来规范化步长，这样步长大小就不会取决于我们对批量大小的选择。

def sgd(params, lr, batch_size):  #@save
    """小批量随机梯度下降"""
    with torch.no_grad():  # 屏蔽梯度计算
        for param in params:
            param -= lr * param.grad / batch_size
            param.grad.zero_()
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with torch.no_grad()和backward()

训练

在每次迭代中，我们读取一小批量训练样本，并通过我们的模型来获得一组预测。 计算完损失后，我们开始反向传播，存储每个参数的梯度。 最后，我们调用优化算法sgd来更新模型参数。

概括一下，我们将执行以下循环：

• 初始化参数
• 重复以下训练，直到完成
  • 计算梯度 $\mathbf{g}\leftarrow {\partial }_{(\mathbf{w},b)}\frac{1}{|\mathcal{B}|}{\sum }_{i\in \mathcal{B}}l\left({\mathbf{x}}^{(i)},y^{(i)},\mathbf{w},b\right)$
  • 更新参数 $(\mathbf{w},b)\leftarrow (\mathbf{w},b)-\eta \mathbf{g}$

lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss

for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失
        # 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起，
        # 并以此计算关于[w,b]的梯度
        l.sum().backward()
        sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数
    with torch.no_grad():
        train_l = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')
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epoch 1, loss 0.026352
epoch 2, loss 0.000093
epoch 3, loss 0.000054
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线性回归的简洁实现

生成数据集

import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2l

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, 1000)
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读取数据集

我们可以调用框架中现有的API来读取数据。 我们将features和labels作为API的参数传递，并通过数据迭代器指定batch_size。 此外，布尔值is_train
表示是否希望数据迭代器对象在每个迭代周期内打乱数据。

def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):  #@save
    """构造一个PyTorch数据迭代器"""
    dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)
    return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)

batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)
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pytorch中Dataset，TensorDataset和DataLoader用法_鬼道2022的博客-CSDN博客_data.tensordataset

我们使用iter构造Python迭代器，并使用next从迭代器中获取第一项。

next(iter(data_iter))
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[tensor([[ 0.7882, -0.7068],
         [ 0.5081,  0.2577],
         [-0.5769,  0.1545],
         [-0.3271, -0.6080],
         [-0.2716, -1.4628],
         [-1.1530, -1.4643],
         [ 0.1635, -0.2018],
         [-0.0753, -1.1161],
         [ 3.4251,  0.1953],
         [ 0.3589, -0.9478]]),
 tensor([[ 8.1742],
         [ 4.3357],
         [ 2.5157],
         [ 5.6106],
         [ 8.6395],
         [ 6.8726],
         [ 5.2155],
         [ 7.8377],
         [10.3918],
         [ 8.1590]])]
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定义模型

对于标准深度学习模型，我们可以使用框架的预定义好的层。这使我们只需关注使用哪些层来构造模型，而不必关注层的实现细节。 我们首先定义一个模型变量net，它是一个Sequential类的实例。 Sequential类将多个层串联在一起。 当给定输入数据时，Sequential实例将数据传入到第一层， 然后将第一层的输出作为第二层的输入，以此类推。 在下面的例子中，我们的模型只包含一个层，因此实际上不需要Sequential。 但是由于以后几乎所有的模型都是多层的，在这里使用Sequential会让你熟悉“标准的流水线”。

在PyTorch中，全连接层在Linear类中定义。 值得注意的是，我们将两个参数传递到nn.Linear中。 第一个指定输入特征形状，即2，第二个指定输出特征形状，输出特征形状为单个标量，因此为1。

# nn是神经网络的缩写
from torch import nn

net = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))
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初始化模型参数

在使用net之前，我们需要初始化模型参数。 如在线性回归模型中的权重和偏置。 深度学习框架通常有预定义的方法来初始化参数。 在这里，我们指定每个权重参数应该从均值为0、标准差为0.01的正态分布中随机采样， 偏置参数将初始化为零。

net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)
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tensor([0.])
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PyTorch权重初始化的几种方法_鹊踏枝-码农的博客-CSDN博客_pytorch weight.data.normal_

深度学习基础知识（一）— 权重初始化_Teeyohuang的博客-CSDN博客_weight.data.normal_

定义损失函数

计算均方误差使用的是MSELoss类，也称为平方$L_2$范数。 默认情况下，它返回所有样本损失的平均值。

loss = nn.MSELoss()
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定义优化算法

小批量随机梯度下降算法是一种优化神经网络的标准工具， PyTorch在optim
模块中实现了该算法的许多变种。 当我们实例化一个SGD实例时，我们要指定优化的参数 （可通过net.parameters()从我们的模型中获得）以及优化算法所需的超参数字典。 小批量随机梯度下降只需要设置lr值，这里设置为0.03。

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)
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训练

回顾一下：在每个迭代周期里，我们将完整遍历一次数据集（train_data）， 不停地从中获取一个小批量的输入和相应的标签。 对于每一个小批量，我们会进行以下步骤:

• 通过调用net(X)生成预测并计算损失l（前向传播）。
• 通过进行反向传播来计算梯度。
• 通过调用优化器来更新模型参数。

为了更好的衡量训练效果，我们计算每个迭代周期后的损失，并打印它来监控训练过程。

num_epochs = 3
for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter:
        l = loss(net(X) ,y)
        trainer.zero_grad()
        l.backward()
        trainer.step()
    l = loss(net(features), labels)
    print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')
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epoch 1, loss 0.000157
epoch 2, loss 0.000094
epoch 3, loss 0.000094
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softmax 回归

softmax运算

统计学家很早以前就发明了一种表示分类数据的简单方法：独热编码（one-hot encoding）。 独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。 类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。

与线性回归一样，softmax回归也是一个单层神经网络。 由于计算每个输出$o_1,o_2,o_3,o_4$取决于 所有输入$x_1,x_2,x_3,x_4$， 所以softmax回归的输出层也是全连接层。

softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持 可导的性质。 为了完成这一目标，我们首先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。 为了确保最终输出的概率值总和为1，我们再让每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：

$$\hat{\mathbf{y}}=\mathrm{softmax}(\mathbf{o})\text{ 其中 }{\hat{y}}_j=\frac{\exp \left(o_j\right)}{{\sum }_k\exp \left(o_k\right)}$$

这里, 对于所有的$j$总有$0\le {\hat{y}}_j\le 1$ 。 因此, $\hat{\mathbf{y}}$可以视为一个正确的概率分布。 softmax运算不会改变末规范化的预测$\mathbf{o}$之间的大小次序, 只会确定分配给每个类别的概 率。因此, 在预测过程中, 我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。

$$\underset{j}{\mathrm{argmax}}{\hat{y}}_j=\underset{j}{\mathrm{argmax}}{o}_j.$$

交叉熵损失

softmax函数给出了一个向量$\hat{\mathbf{y}}$, 我们可以将其视为 “对给定任意输入$\mathbf{x}$ 的每个类的条件概率”。可以将估计值与实际值进行比较：

假设整个数据集$X,Y$具有$n$个样本，其中索引i的样本由特征向量$x^{(i)}$和独热标签向量$y^{(i)}$组成

$$P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})=\prod {i=1}^{n}P\left({\mathbf{y}}^{(i)}\mid {\mathbf{x}}^{(i)}\right).$$

根据最大似然估计, 我们最大化$P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})$, 相当于最小化负对数似然:

$$-\log P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})=\sum _{i=1}^n-\log P\left({\mathbf{y}}^{(i)}\mid {\mathbf{x}}^{(i)}\right)=\sum _{i=1}^{n}l\left({\mathbf{y}}^{(i)},{\hat{\mathbf{y}}}^{(i)}\right),$$

其中，对于任何标签 $\mathbf{y}$ 和模型预测 $\hat{\mathbf{y}}$ ，损失函数为：

$$l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=-\sum _{j=1}^q{y}_j\log {\hat{y}}_j.$$

上式中的损失函数通常被称为交叉嫡损失 (cross-entropy loss)。

图像分类数据集

我们可以通过框架中的内置函数将Fashion-MNIST数据集下载并读取到内存中。

# 通过ToTensor实例将图像数据从PIL类型变换成32位浮点数格式，
# 并除以255使得所有像素的数值均在0到1之间
trans = transforms.ToTensor()
mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(
    root="../data", train=True, transform=trans, download=True)
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
    root="../data", train=False, transform=trans, download=True)
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Fashion-MNIST由10个类别的图像组成， 每个类别由训练数据集（train dataset）中的6000张图像 和测试数据集（test dataset）中的1000张图像组成。 因此，训练集和测试集分别包含60000和10000张图像。 测试数据集不会用于训练，只用于评估模型性能。

len(mnist_train), len(mnist_test)
# (60000, 10000)
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每个输入图像的高度和宽度均为28像素。 数据集由灰度图像组成，其通道数为1。 为了简洁起见，本书将高度h像素、宽度w像素图像的形状记为$h\times w$或者$(h,w)$。

mnist_train[0][0].shape
# torch.Size([1, 28, 28])
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Fashion-MNIST中包含的10个类别，分别为t-shirt（T恤）、trouser（裤子）、pullover（套衫）、dress（连衣裙）、coat（外套）、sandal（凉鞋）、shirt（衬衫）、sneaker（运动鞋）、bag（包）和ankle boot（短靴）。 以下函数用于在数字标签索引及其文本名称之间进行转换。

def get_fashion_mnist_labels(labels):  #@save
    """返回Fashion-MNIST数据集的文本标签"""
    text_labels = ['t-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat',
                   'sandal', 'shirt', 'sneaker', 'bag', 'ankle boot']
    return [text_labels[int(i)] for i in labels]
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我们现在可以创建一个函数来可视化这些样本。

def show_images(imgs, num_rows, num_cols, titles=None, scale=1.5):  #@save
    """绘制图像列表"""
    figsize = (num_cols * scale, num_rows * scale)
    _, axes = d2l.plt.subplots(num_rows, num_cols, figsize=figsize)
    axes = axes.flatten()
    for i, (ax, img) in enumerate(zip(axes, imgs)):
        if torch.is_tensor(img):
            # 图片张量
            ax.imshow(img.numpy())
        else:
            # PIL图片
            ax.imshow(img)
        ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)
        ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)
        if titles:
            ax.set_title(titles[i])
    return axes
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以下是训练数据集中前几个样本的图像及其相应的标签。

X, y = next(iter(data.DataLoader(mnist_train, batch_size=18)))
show_images(X.reshape(18, 28, 28), 2, 9, titles=get_fashion_mnist_labels(y));
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读取小批量

在每次迭代中，数据加载器每次都会读取一小批量数据，大小为batch_size
。 通过内置数据迭代器，我们可以随机打乱了所有样本，从而无偏见地读取小批量。

batch_size = 256

def get_dataloader_workers():  #@save
    """使用4个进程来读取数据"""
    return 4

train_iter = data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
                             num_workers=get_dataloader_workers())
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整合所有的组件

现在我们定义load_data_fashion_mnist函数，用于获取和读取Fashion-MNIST数据集。 这个函数返回训练集和验证集的数据迭代器。 此外，这个函数还接受一个可选参数resize，用来将图像大小调整为另一种形状。

def load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None):  #@save
    """下载Fashion-MNIST数据集，然后将其加载到内存中"""
    trans = [transforms.ToTensor()]
    if resize:
        trans.insert(0, transforms.Resize(resize))
    trans = transforms.Compose(trans)
    mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(
        root="../data", train=True, transform=trans, download=True)
    mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
        root="../data", train=False, transform=trans, download=True)
    return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
                            num_workers=get_dataloader_workers()),
            data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,
                            num_workers=get_dataloader_workers()))
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下面，我们通过指定resize参数来测试load_data_fashion_mnist函数的图像大小调整功能。

train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(32, resize=64)
for X, y in train_iter:
    print(X.shape, X.dtype, y.shape, y.dtype)
    break
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torch.Size([32, 1, 64, 64]) torch.float32 torch.Size([32]) torch.int64
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Softmax回归从零开始实现

本节我们将使用Fashion-MNIST数据集， 并设置数据迭代器的批量大小为256。

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
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初始化模型参数

原始数据集中的每个样本都是28×28的图像。 在本节中，我们将展平每个图像，把它们看作长度为784的向量。 在后面的章节中，我们将讨论能够利用图像空间结构的特征， 但现在我们暂时只把每个像素位置看作一个特征。

在softmax回归中，我们的输出与类别一样多。 因为我们的数据集有10个类别，所以网络输出维度为10。 因此，权重将构成一个784×10的矩阵， 偏置将构成一个1×10的行向量。 与线性回归一样，我们将使用正态分布初始化我们的权重W
，偏置初始化为0。

num_inputs = 784
num_outputs = 10

W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)
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定义softmax操作

在实现softmax回归模型之前，我们简要回顾一下sum运算符如何沿着张量中的特定维度工作。

X = torch.tensor([[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0]])
X.sum(0, keepdim=True), X.sum(1, keepdim=True)
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(tensor([[5., 7., 9.]]),
 tensor([[ 6.],
         [15.]]))
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回想一下，实现softmax由三个步骤组成：

1. 对每个项求幂（使用exp）；
2. 对每一行求和（小批量中每个样本是一行），得到每个样本的规范化常数；
3. 将每一行除以其规范化常数，确保结果的和为1。

def softmax(X):
    X_exp = torch.exp(X)
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)
    return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制
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正如你所看到的，对于任何随机输入，我们将每个元素变成一个非负数。 此外，依据概率原理，每行总和为1。

X = torch.normal(0, 1, (2, 5))
X_prob = softmax(X)
X_prob, X_prob.sum(1)
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(tensor([[0.0456, 0.1734, 0.0443, 0.2028, 0.5339],
         [0.0648, 0.0213, 0.0681, 0.6248, 0.2211]]),
 tensor([1., 1.]))
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定义模型

定义softmax操作后，我们可以实现softmax回归模型。 下面的代码定义了输入如何通过网络映射到输出。 注意，将数据传递到模型之前，我们使用reshape
函数将每张原始图像展平为向量。

def net(X):
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)
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定义损失函数

y = torch.tensor([0, 2])
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])
y_hat[[0, 1], y]
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我们只需一行代码就可以实现交叉熵损失函数。

def cross_entropy(y_hat, y):
    return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])

cross_entropy(y_hat, y)
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tensor([2.3026, 0.6931])
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分类精度

为了计算精度，我们执行以下操作。 首先，如果y_hat是矩阵，那么假定第二个维度存储每个类的预测分数。 我们使用argmax获得每行中最大元素的索引来获得预测类别。 然后我们将预测类别与真实y元素进行比较。 由于等式运算符“==”对数据类型很敏感， 因此我们将y_hat的数据类型转换为与y的数据类型一致。 结果是一个包含0（错）和1（对）的张量。 最后，我们求和会得到正确预测的数量。

def accuracy(y_hat, y):  #@save
    """计算预测正确的数量"""
    if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:
        y_hat = y_hat.argmax(axis=1)
    cmp = y_hat.type(y.dtype) == y
    return float(cmp.type(y.dtype).sum())
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我们将继续使用之前定义的变量y_hat和y分别作为预测的概率分布和标签。 可以看到，第一个样本的预测类别是2（该行的最大元素为0.6，索引为2），这与实际标签0不一致。 第二个样本的预测类别是2（该行的最大元素为0.5，索引为2），这与实际标签2一致。 因此，这两个样本的分类精度率为0.5。

accuracy(y_hat, y) / len(y)
# 0.5
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同样，对于任意数据迭代器data_iter可访问的数据集， 我们可以评估在任意模型net的精度。

def evaluate_accuracy(net, data_iter):  #@save
    """计算在指定数据集上模型的精度"""
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.eval()  # 将模型设置为评估模式
    metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数
    with torch.no_grad():
        for X, y in data_iter:
            metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())
    return metric[0] / metric[1]
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这里定义一个实用程序类Accumulator，用于对多个变量进行累加。 在上面的evaluate_accuracy函数中， 我们在Accumulator实例中创建了2个变量， 分别用于存储正确预测的数量和预测的总数量。 当我们遍历数据集时，两者都将随着时间的推移而累加。

class Accumulator:  #@save
    """在n个变量上累加"""
    def __init__(self, n):
        self.data = [0.0] * n

    def add(self, *args):
        self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]

    def reset(self):
        self.data = [0.0] * len(self.data)

    def __getitem__(self, idx):
        return self.data[idx]
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由于我们使用随机权重初始化net模型， 因此该模型的精度应接近于随机猜测。 例如在有10个类别情况下的精度为0.1。

evaluate_accuracy(net, test_iter)
# 0.1012
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训练

首先，我们定义一个函数来训练一个迭代周期。 请注意，updater是更新模型参数的常用函数，它接受批量大小作为参数。 它可以是d2l.sgd函数，也可以是框架的内置优化函数。

def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save
    """训练模型一个迭代周期（定义见第3章）"""
    # 将模型设置为训练模式
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.train()
    # 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
    metric = Accumulator(3)
    for X, y in train_iter:
        # 计算梯度并更新参数
        y_hat = net(X)
        l = loss(y_hat, y)
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
            # 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
            updater.zero_grad()
            l.mean().backward()
            updater.step()
        else:
            # 使用定制的优化器和损失函数
            l.sum().backward()
            updater(X.shape[0])
        metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())
    # 返回训练损失和训练精度
    return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]
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在展示训练函数的实现之前，我们定义一个在动画中绘制数据的实用程序类Animator， 它能够简化本书其余部分的代码。

class Animator:  #@save
    """在动画中绘制数据"""
    def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
                 ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
                 fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,
                 figsize=(3.5, 2.5)):
        # 增量地绘制多条线
        if legend is None:
            legend = []
        d2l.use_svg_display()
        self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)
        if nrows * ncols == 1:
            self.axes = [self.axes, ]
        # 使用lambda函数捕获参数
        self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(
            self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
        self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts

    def add(self, x, y):
        # 向图表中添加多个数据点
        if not hasattr(y, "__len__"):
            y = [y]
        n = len(y)
        if not hasattr(x, "__len__"):
            x = [x] * n
        if not self.X:
            self.X = [[] for _ in range(n)]
        if not self.Y:
            self.Y = [[] for _ in range(n)]
        for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):
            if a is not None and b is not None:
                self.X[i].append(a)
                self.Y[i].append(b)
        self.axes[0].cla()
        for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
            self.axes[0].plot(x, y, fmt)
        self.config_axes()
        display.display(self.fig)
        display.clear_output(wait=True)
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接下来我们实现一个训练函数， 它会在train_iter访问到的训练数据集上训练一个模型net。 该训练函数将会运行多个迭代周期（由num_epochs指定）。 在每个迭代周期结束时，利用test_iter访问到的测试数据集对模型进行评估。 我们将利用Animator类来可视化训练进度。

小批量随机梯度下降来优化模型的损失函数，设置学习率为0.1。

lr = 0.1

def updater(batch_size):
    return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)
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现在，我们训练模型10个迭代周期。 请注意，迭代周期（num_epochs）和学习率（lr）都是可调节的超参数。 通过更改它们的值，我们可以提高模型的分类精度。

num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)
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预测

现在训练已经完成，我们的模型已经准备好对图像进行分类预测。 给定一系列图像，我们将比较它们的实际标签（文本输出的第一行）和模型预测（文本输出的第二行）。

def predict_ch3(net, test_iter, n=6):  #@save
    """预测标签（定义见第3章）"""
    for X, y in test_iter:
        break
    trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)
    preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))
    titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]
    d2l.show_images(
        X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])

predict_ch3(net, test_iter)
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softmax回归的简洁实现

继续使用Fashion-MNIST数据集，并保持批量大小为256。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
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• 初始化模型参数

# PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此，
# 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights);
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• Softmax实现

loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
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• 优化算法

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)
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• 训练

num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
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