判断二叉树是否为满二叉树
作者：Grey
原文地址：
满二叉树定义#
一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是
(2^k) -1，则它就是满二叉树。
方法1#
使用公式，求二叉树的层数 k, 结点数 n，如果满足(2^k) -1 = n，则为满二叉树。
定义数据结构
public static class Info1 {
public int height;
public int nodes;
public Info1(int h, int n) {
height = h;
nodes = n;
}
}
其中height表示二叉树的层数，nodes表示二叉树的结点个数。
定义递归函数
Info1 process1(Node head)
递归含义是：head 为头的二叉树的层数和点数都是多少，接下来就是 base case
即：head == null的时候，此时，height == 0 且 nodes == 0
if (head == null) {
return new Info1(0, 0);
}
接下来是普遍情况
// 去左树上收集信息
Info1 leftInfo = process1(head.left);
// 去右树上收集信息
Info1 rightInfo = process1(head.right);
// 整合成 head 自己的信息
int height = Math.max(leftInfo.height, rightInfo.height) + 1;
int nodes = leftInfo.nodes + rightInfo.nodes + 1;
return new Info1(height, nodes);
方法2#
定义如下数据结构
public static class Info2 {
public boolean isFull;
public int height;
public Info2(boolean f, int h) {
isFull = f;
height = h;
}
}
其中isFull表示是否为满二叉树，height表示二叉树的高度。
定义了这个数据结构后，可以梳理可能性，如果以 head 为头的树要符合满二叉树。则需要同时满足下面三种情况
情况1：左树是满二叉树
情况2：右树是满二叉树；
情况3：左右树的高度一样。
定义递归函数
Info2 process2(Node head)
递归含义就是返回以head为头的二叉树Info2结构信息。
base case是
if (h == null) {
return new Info2(true, 0);
}
h == null默认是满二叉树，结点个数为0。
接下来是普遍情况，即去左右子树收集相关信息，整合成以h为头二叉树的信息。
// 去左子树收集相关信息
Info2 leftInfo = process2(h.left);
// 去右子树收集相关信息
Info2 rightInfo = process2(h.right);
// 整合成 h 自己的新
boolean isFull = leftInfo.isFull && rightInfo.isFull && leftInfo.height == rightInfo.height;
int height = Math.max(leftInfo.height, rightInfo.height) + 1;
return new Info2(isFull, height);
方法1 和 方法2 的时间复杂度都是O(n),即经过一次后序遍历的时间复杂度。
两种解法的完整代码（含测试代码）如下
public class Code_IsFull {
public static class Node {
public int value;
public Node left;
public Node right;
public Node(int data) {
this.value = data;
}
}
// 第一种方法
// 收集整棵树的高度h，和节点数n
// 只有满二叉树满足 : 2 ^ h - 1 == n
public static boolean isFull1(Node head) {
if (head == null) {
return true;
}
Info1 all = process1(head);
return (1 << all.height) - 1 == all.nodes;
}
public static class Info1 {
public int height;
public int nodes;
public Info1(int h, int n) {
height = h;
nodes = n;
}
}
public static Info1 process1(Node head) {
if (head == null) {
return new Info1(0, 0);
}
Info1 leftInfo = process1(head.left);
Info1 rightInfo = process1(head.right);
int height = Math.max(leftInfo.height, rightInfo.height) + 1;
int nodes = leftInfo.nodes + rightInfo.nodes + 1;
return new Info1(height, nodes);
}
// 第二种方法
// 收集子树是否是满二叉树
// 收集子树的高度
// 左树满 && 右树满 && 左右树高度一样 -> 整棵树是满的
public static boolean isFull2(Node head) {
if (head == null) {
return true;
}
return process2(head).isFull;
}
public static class Info2 {
public boolean isFull;
public int height;
public Info2(boolean f, int h) {
isFull = f;
height = h;
}
}
public static Info2 process2(Node h) {
if (h == null) {
return new Info2(true, 0);
}
Info2 leftInfo = process2(h.left);
Info2 rightInfo = process2(h.right);
boolean isFull = leftInfo.isFull && rightInfo.isFull && leftInfo.height == rightInfo.height;
int height = Math.max(leftInfo.height, rightInfo.height) + 1;
return new Info2(isFull, height);
}
// for test
public static Node generateRandomBST(int maxLevel, int maxValue) {
return generate(1, maxLevel, maxValue);
}
// for test
public static Node generate(int level, int maxLevel, int maxValue) {
if (level > maxLevel || Math.random() < 0.5) {
return null;
}
Node head = new Node((int) (Math.random() * maxValue));
head.left = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
head.right = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
return head;
}
public static void main(String[] args) {
int maxLevel = 5;
int maxValue = 100;
int testTimes = 1000000;
System.out.println("测试开始");
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
Node head = generateRandomBST(maxLevel, maxValue);
if (isFull1(head) != isFull2(head)) {
System.out.println("出错了!");
}
}
System.out.println("测试结束");
}
}