大数定律与中心极限定理

大数定律与中心极限定理
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  - 可惜了，我需要努力学习
  - Physice Doctor in Future
Chebyshev 不等式

$P(|X-\mu|\geq a)\leq \frac{DX}{a^2}$

（弱）大数定律

Markov 大数定律

Chebyshev 大数定律

独立同分布大数定律

Bernoulli 大数定律

Khinchin 大数定律

中心极限定理

Lindeberg-Levy 中心极限定理
- 如果 $\begin{Bmatrix} X_n \end{Bmatrix}$ 独立同分布，且 $EX=\mu,DX=\sigma^2>0$ ,且n足够大时， $\bar{X_n}$ 近似服从正态分布 $N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ ,即：
$\lim_{n\rightarrow \infty}P(\frac{\bar{X_n}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}<a)=\Phi (a)$

De Moivre-Laplace中心极限定理
- 随机变量序列 $\begin{Bmatrix} X_n \end{Bmatrix}$ 中, $X_n\sim B(n,p)$ ,有
$\lim_{n\rightarrow\infty}P(\frac{X_n-np}{\sqrt{npq}}\leq x)=\Phi(x)$

三种分布
- 卡方分布
$\begin{matrix} X_1,X_2,..\sim N(0,1)\\ \chi ^2(n)=\sum_{i=1}^nX_i^2 \end{matrix}$

卡方分布的性质
- 自由度为n的卡方分布也为参数为 $(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$ 的Gamma 分布
- 可加性
  - 相互独立的 $\chi_1^2(n),\chi^2_2(m)$ ,满足 $\chi_1^2(n)+\chi_2^2(m)=\chi^2(m+n)$
- 学生分布（X，Y相互独立）
$\begin{matrix} X\sim N(0,1),Y\sim \chi^2(n)\\ t=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} \end{matrix}$

学生分布的性质
- n>45, $t_p(n)\approx u_p$
- F分布（X，Y相互独立）
$\begin{matrix} X\sim\chi^2(n),Y\sim\chi^2(m)\\ F=\frac{X/n}{Y/m} \end{matrix}$

F分布的性质
- $F_p(n,m)=\frac{1}{F_{1-p}(m,n)}$
抽样分布定理

定理一

$\begin{matrix} Sample\,X_1,X_2,X_3,...\,come\,from\,normal\,population\,N(\mu,\sigma^2)\\ then\,(1)\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\\ (2)\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1) \end{matrix}$

推论

$\begin{matrix} Samples\,from\,any\,population\,satisfy\,that\\ (1)E\bar{X}=E(X)\\ (2)D\bar{X}=DX/n \end{matrix}$

定理二

$\begin{matrix} samples\,X_1,X_2,...\,come\,from\,normal\,populations\,N(\mu,\sigma^2),then\\ (1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)\\ (2)\bar{X}\,and\,S^2\,are\,independent\,variables \end{matrix}$

定理三

$\begin{matrix} samples\,X_1,X_2,...\,come\,from\,normal\,populations\,N(\mu,\sigma^2),then\\ t=\frac{\bar{X}-u}{S/\sqrt{n})}\sim t(n-1)\\ \end{matrix}$

定理四：两个正态总体下的抽样分布定理

$\begin{matrix} there\,are\,two\,populations\,X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\\ then:S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}\\ T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2) \end{matrix}$

参数估计

正态总体下参数的置信区间
- 已知 $\sigma^2=\sigma_0^2$ ，求总体均值 $\mu$ 的置信区间
$\begin{matrix} confidence\,interval:\\ \left ( \bar{X}-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma_0}{\sqrt{n}},\bar{X}+u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma_0}{\sqrt{n}} \right ) \end{matrix}$
- $\sigma^2$ 未知，求总体均值 $\mu$ 的置信区间
$\begin{matrix} confidence\,interval:\\ \left ( \bar{X}-t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\bar{X}+t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}} \right ) \end{matrix}$
- $\mu$ 未知时，总体方程 $\sigma^2$ 的置信区间
$\begin{matrix} confidence\,interval:\\ \left ( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)} ,\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)}\right ) \end{matrix}$

两个正态总体下参数的置信区间
- $\sigma_1^2,\sigma_2^2$ 都已知，求总体均值差 $\mu_1-\mu_2$ 的置信区间
$\left ( \bar{X}-\bar{Y}-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}, \bar{X}-\bar{Y}+u_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right )$
- $\sigma_1^2,\sigma_2^2$ 都未知，但 $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$ ，求 $\mu_1-\mu_2$ 的置信区间
$S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$

$\left ( \bar{X}-\bar{Y}-t_{1-\frac{\alpha}{2}}S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, \bar{X}-\bar{Y}+t_{1-\frac{\alpha}{2}}S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right )$
- $\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2$ 都未知，总体方差比 $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ 的置信区间
$\left ( \frac{S_1^2}{S_2^2F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1)}, \frac{S_1^2}{S_2^2F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1)}\right )$

假设检验

一个正态总体下参数的假设检验
- $\sigma^2=\sigma_0^2$ 已知时, $\mu$ 的检验
$U=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
- $\sigma^2$ 未知， $\mu$ 的检验
$t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$
- $\mu$ 未知, $\sigma^2$ 的检验
$\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1)$

两个正态总体下参数的假设检验
- $\sigma_1^2,\sigma_2^2$ 已知时, $\mu_1=\mu_2$ 的检验
$U=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$
- $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$ ,且 $\sigma^2$ 未知时, $\mu_1=\mu_2$ 的检验
$T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)$

$S_w=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}$
- $\mu_1,\mu_2$ 未知时,方差 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ 的检验
$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$

自然指数分布族均值参数的检验
总体分布的 $\chi^2$ 拟合优度检验
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原文地址：https://blog.csdn.net/Chandler_river/article/details/128090560

Chebyshev 不等式

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中心极限定理

Lindeberg-Levy 中心极限定理

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三种分布

卡方分布的性质

学生分布的性质

F分布的性质

抽样分布定理

定理一

推论

定理二

定理三

定理四：两个正态总体下的抽样分布定理

参数估计

正态总体下参数的置信区间

两个正态总体下参数的置信区间

假设检验

一个正态总体下参数的假设检验

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总体分布的拟合优度检验

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