Chapter9.4：线性系统的状态空间分析与综合(下)

此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
自动控制原理(第七版)课后习题精选
自动控制原理(第七版)附录MATLAB基础

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第九章：线性系统的状态空间分析与综合

Example 9.36

已知系统动态方程为：
$$\dot{x}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& -1& 1\\ 0& 2& 0\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]u，y=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right]x$$
试问：

1. 能否用状态反馈将系统的闭环极点配置在$-3,-4,-5$处？若有可能，求出该状态反馈；
2. 该系统的状态观测器是否存在？若存在，请设计一个极点位于$-3,-4,-5$处的全维状态观测器；

解：

1. 状态反馈设计。

   系统的可控性及其秩为：
   $$S=\left[\begin{array}{ccc}b& Ab& A^{2}b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 0& 1& -1\\ 1& 0& 2\end{array}\right]，\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S=3$$
   因此系统可控，可以通过状态反馈将其极点任意配置。

   设将系统的闭环极点配置在期望位置上的状态反馈为负反馈，其反馈增益向量为：
   $$k=\left[\begin{array}{ccc}{k}_1& k_2& k_3\end{array}\right]$$
   系统的闭环特征多项式为：
   $$f_k(\lambda )=\det [\lambda I-(A-bk)]={\lambda }^3+k_3{\lambda }^2+(k_2-9)\lambda -(7k_3+k_2-2k_1-2)$$
   闭环系统的期望特征多项式为：
   $$f_k^{\ast }(\lambda )=(\lambda +3)(\lambda +4)(\lambda +5)={\lambda }^3+12{\lambda }^2+47\lambda +60$$
   比较上两式系数可得：
   $$k_1=99,k_2=56,k_3=12$$
   因此系统的反馈增益向量为：
   $$k=\left[\begin{array}{ccc}99& 56& 12\end{array}\right]$$

2. 观测器设计。

   系统可观测性矩阵及其秩为：
   $$V=\left[\begin{array}{c}c\\ cA\\ c{A}^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 4& 3& 1\\ 13& 7& 3\end{array}\right]，\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}V=3$$
   故系统可观测，可以通过状态观测器来获取状态向量。

   利用输出至状态微分的负反馈来配置极点，为了获取满足要求的反馈增益向量$h$，先将$(A,c)$化为可观测标准型$(\overline{A}，\overline{c})$。

   由于
   $$\det (\lambda I-A)={\lambda }^3-9\lambda +2$$
   即$a_1=0,a_2=-9,a_3=2$，所以变换矩阵为：
   $$\begin{array}{rl}& T=\left[\begin{array}{ccc}{a}_2& a_1& 1\\ a_1& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]V=\left[\begin{array}{ccc}-9& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 4& 3& 1\\ 13& 7& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4& -2& -6\\ 4& 3& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]\\ & \\ & T^{-1}=\frac{1}{8}\left[\begin{array}{ccc}2& -4& 16\\ -3& 10& -28\\ 1& -6& 20\end{array}\right]\end{array}$$
   则有
   $$\overline{A}=TA{T}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -a_3\\ 1& 0& -a_2\\ 0& 1& -a_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 1& 0& 9\\ 0& 1& 0\end{array}\right]，\overline{c}=c{T}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]$$
   设$\overline{h}={\left[\begin{array}{ccc}{\overline{h}}_1& {\overline{h}}_2& {\overline{h}}_3\end{array}\right]}^T$，可得：
   $$\overline{A}-\overline{h}\overline{c}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -2-{\overline{h}}_1\\ 1& 0& 9-{\overline{h}}_2\\ 0& 1& -{\overline{h}}_3\end{array}\right]$$
   状态观测器的特征多项式为：
   $$f_h(\lambda )=\det [\lambda I-(\overline{A}-\overline{h}\overline{c})]={\lambda }^3+{\overline{h}}_3{\lambda }^2+({\overline{h}}_2-9)\lambda +({\overline{h}}_1+2)$$
   期望状态观测器的特征多项式为：
   $$f_h^{\ast }(\lambda )=(\lambda +3)(\lambda +4)(\lambda +5)={\lambda }^3+12{\lambda }^2+47\lambda +60$$
   比较两特征多项式系数可得：
   $${\overline{h}}_1=58，{\overline{h}}_2=56，{\overline{h}}_3=12\Rightarrow \overline{h}={\left[\begin{array}{ccc}58& 56& 12\end{array}\right]}^T$$
   所以
   $$h=T^{-1}\overline{h}=\frac{1}{8}\left[\begin{array}{ccc}2& -4& 16\\ -3& 10& -28\\ 1& -6& 20\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}58\\ 56\\ 12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}10.5\\ 6.25\\ -4.75\end{array}\right]$$
   要设计的全维观测器为：$\dot{\hat{x}}=(A-hc)\hat{x}+hy+bu$，即
   $$\dot{\hat{x}}=\left[\begin{array}{ccc}-9.5& -8.5& -10.5\\ -3.25& -7.25& -5.25\\ 4.75& 6.75& 4.75\end{array}\right]\hat{x}+\left[\begin{array}{c}10.5\\ 6.25\\ -4.75\end{array}\right]y+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]u$$

3. 系统结构图。
   

4. 复合形式。

   由于被控系统$(A,b,c)$完全可控可观测，因此利用全维状态观测器的估计值进行状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行，互不影响，满足分离特性。对于带全维观测器的系统，写成复合形式为：
   $$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{\hat{x}}\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}A& -bk\\ hc& A-bk-hc\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \hat{x}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}b\\ b\end{array}\right]v\\ & \\ & =\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 0& 0& 0& 0\\ 3& -1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& -99& -56& -12\\ 10.5& 10.5& 10.5& -9.5& -8.5& -10.5\\ 6.25& 6.25& 6.25& -3.25& -7.25& -5.25\\ -4.75& -4.75& -4.75& -94.25& -49.25& -7.25\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ {\hat{x}}_1\\ {\hat{x}}_2\\ {\hat{x}}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]v\end{array}$$
   对于复合系统，由于原系统完全可控可观测，因此复合系统的特征值是由状态反馈子系统和全维观测器的特征值组成，且两部分的特征值相互独立，彼此不受影响。故该复合系统的极点为：$-3,-4,-5,-3,-4,-5$。

Example 9.37

试确定下列二次型函数的定号性：

1. $V(x)=2x_1^2+3x_2^2+x_3^2-2x_1{x}_2+2x_1{x}_3$；
2. $V(x)=8x_1^2+2x_2^2+x_3^2-8x_1{x}_2+2x_1{x}_3-2x_2{x}_3$；
3. $V(x)=-x_1^2-4x_2^2-4x_3^2+4x_1{x}_3$；

解：

1. $V(x)=2x_1^2+3x_2^2+x_3^2-2x_1{x}_2+2x_1{x}_3$；

   二次型函数的向量-矩阵形式：
   $$V(x)=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ -1& 3& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=x^{T}Px$$
   由于$P$的顺序主子式为：
   $${\Delta }_1=2>0,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 3\end{array}\right|=5>0,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ -1& 3& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right|=2>0$$
   所以$V(x)$正定。

2. $V(x)=8x_1^2+2x_2^2+x_3^2-8x_1{x}_2+2x_1{x}_3-2x_2{x}_3$；

   二次型函数的向量-矩阵形式：
   $$V(x)=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}8& -4& 1\\ -4& 2& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=x^{T}Px$$
   由于$P$的顺序主子式为：
   $${\Delta }_1=8>0,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}8& -4\\ -4& 2\end{array}\right|=0,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}8& -4& 1\\ -4& 2& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\right|=-4<0$$
   所以$V(x)$不定。

3. $V(x)=-x_1^2-4x_2^2-4x_3^2+4x_1{x}_3$；

   二次型函数的向量-矩阵形式：
   $$V(x)=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& -4& 0\\ 2& 0& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=x^{T}Px$$
   由于$P$的顺序主子式为：
   $${\Delta }_1=-1<0,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -4\end{array}\right|=4>0,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& -4& 0\\ 2& 0& -4\end{array}\right|=0$$
   所以$V(x)$负半定。

Example 9.38

确定下列二次型函数中待定系数的取值范围，使其成为正定的二次型函数：

1. $V(x)=x_1^2+2x_2^2+a{x}_3^2+2x_1{x}_2+2x_2{x}_3-2x_1{x}_3$；
2. $V(x)=a{x}_1^2+b{x}_2^2+c{x}_3^2+2x_1{x}_2-4x_2{x}_3-2x_1{x}_3$；

解：

1. $V(x)=x_1^2+2x_2^2+a{x}_3^2+2x_1{x}_2+2x_2{x}_3-2x_1{x}_3$；

   二次型函数的向量-矩阵形式：
   $$V(x)=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 2& 1\\ -1& 1& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=x^{T}Px$$
   由于$P$的顺序主子式为：
   $${\Delta }_1=1>0,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1>0,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 2& 1\\ -1& 1& a\end{array}\right|=a-5>0$$
   因此使$V(x)$正定的条件是：$a>5$.

2. $V(x)=a{x}_1^2+b{x}_2^2+c{x}_3^2+2x_1{x}_2-4x_2{x}_3-2x_1{x}_3$；

   二次型函数的向量-矩阵形式：
   $$V(x)=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}a& 1& -1\\ 1& b& -2\\ -1& -2& c\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=x^{T}Px$$
   由于$P$的顺序主子式为：
   $${\Delta }_1=a>0,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& b\end{array}\right|=ab-1>0,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}a& 1& -1\\ 1& b& -2\\ -1& -2& c\end{array}\right|=c(ab-1)-4a-b+4>0$$
   因此使$V(x)$正定的条件是：$a>0,ab>1,abc-4a-b-c>-4$.

Example 9.39

求下列各系统的平衡状态，并用李雅普诺夫方法判别系统在平衡状态处的稳定性：

1. x ˙ ( t ) = [ − 1 2 3 − 4 ] x ( t ) \dot{x}(t)=
   [−123−4]" role="presentation">[−132−4]$$\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& -4\end{array}\right]$$
   x(t) x˙(t)=[−13​2−4​]x(t)；
2. x ( k + 1 ) = [ 1 4 0 − 3 − 2 − 3 2 0 0 ] x ( k ) x(k+1)=
   [140−3−2−3200]" role="presentation">⎡⎣⎢1−324−200−30⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 0\\ -3& -2& -3\\ 2& 0& 0\end{array}\right]$$
   x(k) x(k+1)=⎣⎡​1−32​4−20​0−30​⎦⎤​x(k)；
3. x ( k + 1 ) = [ a 0 0 0 1 − 1 1 2 0 ] x ( k ) x(k+1)=
   [a0001−1120]" role="presentation">⎡⎣⎢a010120−10⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 1& 2& 0\end{array}\right]$$
   x(k) x(k+1)=⎣⎡​a01​012​0−10​⎦⎤​x(k)，其中$a$为系统参量；

解：

【系统1】

由于系统的状态矩阵为：
$$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& -4\end{array}\right]，\det A=-2\ne 0$$
即$A$是非奇异的，故原点$x_e=0$是该系统唯一的平衡状态。

设系统的李雅普诺夫函数及其导数分别为：$V(x)=x^{T}Px，\dot{V}(x)=-x^{T}Qx，P>0，Q>0，P^T=P$，则
$$A^{T}P+PA=-Q$$
取$Q=I$，上式改写为：
$$\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{p}_{11}& p_{12}\\ p_{12}& p_{22}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{p}_{11}& p_{12}\\ p_{12}& p_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& -4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$
解得：
$$P=\left[\begin{array}{cc}-1.15& -0.55\\ -0.55& -0.15\end{array}\right]$$
由于矩阵$P$负定，故系统在平衡点$x_e=0$处非渐近稳定。由于$A$的特征值为：${\lambda }_1=0.3723，{\lambda }_2=-5.3723$，可见系统的原点平衡状态是不稳定的。

【系统2】

由于系统的状态矩阵为：$x(k+1)=\Phi x(k)$，
$$\Phi =\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 0\\ -3& -2& -3\\ 2& 0& 0\end{array}\right]，\det (\Phi -I)\ne 0$$
故$x_e=0$为系统唯一的平衡点。

选取
$$V(x(k))=x^{T}Px(k)，\Delta V(x(k))=-x^T(k)Qx(k)$$
其中：$Q=I，P=P^T$，代入离散李雅普诺夫方程：
$${\Phi }^{T}P\Phi -P=-Q$$
即
$$\left[\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ 4& -2& 0\\ 0& -3& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{p}_{11}& p_{12}& p_{13}\\ p_{12}& p_{22}& p_{23}\\ p_{13}& p_{23}& p_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 0\\ -3& -2& -3\\ 2& 0& 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}{p}_{11}& p_{12}& p_{13}\\ p_{12}& p_{22}& p_{23}\\ p_{13}& p_{23}& p_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$$
解得：
$$P=\left[\begin{array}{ccc}-0.0985& -0.0683& -0.0570\\ -0.0683& -0.1725& -0.2151\\ -0.0570& -0.2151& -0.5526\end{array}\right]$$
$P$非正定，所以该离散系统在平衡点$x_e=0$处非渐近稳定。

由$\Phi$的特征值为：${\lambda }_{1,2}=0.5\pm \mathrm{j}3.4278，{\lambda }_3=-2$可知，系统的原点平衡状态是不稳定的。

【系统3】

由于系统的状态矩阵为：$x(k+1)=\Phi x(k)$，
$$\Phi =\left[\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 1& 2& 0\end{array}\right]$$
由于在平衡点处有$x(k+1)=x(k)$，因此
$$\left[\begin{array}{ccc}a-1& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 1& 2& -1\end{array}\right]x(k)=0$$
当$a\ne 1$时，$\Phi -I$非奇异，故$x_e=0$为离散系统唯一的平衡点。当$a=1$时，平衡点$x_e={\left[\begin{array}{ccc}\beta & 0& \beta \end{array}\right]}^T$，其中$\beta$为任意常数。在$x_e=0$处，选取
$$V(x(k))=x^T(k)Px(k)，\Delta V(x(k))=-x^T(k)Qx(k)，其中：Q=I，P=P^T$$
代入离散李雅普诺夫方程：
$${\Phi }^{T}P\Phi -P=-Q$$
即
$$\left[\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 0& 1& 2\\ 0& -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{p}_{11}& p_{12}& p_{13}\\ p_{12}& p_{22}& p_{23}\\ p_{13}& p_{23}& p_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 1& 2& 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}{p}_{11}& p_{12}& p_{13}\\ p_{12}& p_{22}& p_{23}\\ p_{13}& p_{23}& p_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$$
解得：$p_{33}=-\frac{7}{8}<0，p_{22}=-\frac{15}{8}<0$，因此无论$a$如何选取，系统都不能渐近稳定。

Example 9.40

已知电网络如下图所示，列写电网络中以电流$i(t)$为输入，电容$C_1、C_2$上的端电压$v_{C1}、v_{C2}$为输出的动态方程。

解：

由于
$$\{\begin{array}{ll}& i(t)=i_3(t)+C_2\frac{\mathrm{d}{v}_{C_2}(t)}{\mathrm{d}t}+i_2(t)\\ & \\ & i_2(t)=C_1\frac{\mathrm{d}{v}_{C_1}(t)}{\mathrm{d}t}+i_1(t)\\ & \\ & L_1\frac{\mathrm{d}{i}_1(t)}{\mathrm{d}t}=v_{C_1}(t)\\ & \\ & L_2\frac{\mathrm{d}{i}_2(t)}{\mathrm{d}t}=v_{C_2}(t)-v_{C_1}(t)\\ & \\ & L_3\frac{\mathrm{d}{i}_3(t)}{\mathrm{d}t}=v_{C_2}(t)\end{array}$$
分别取$x_1=v_{C_1}，x_2=v_{C_2}，x_3=i_1，x_4=i_2，x_5=i_3，i=u，y_1=v_{C_1}，y_2=v_{C_2}$时，动态方程的状态和输出表达式为：
$$\begin{array}{rl}& \dot{x}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& -\frac{1}{C_1}& \frac{1}{C_1}& 0\\ 0& 0& 0& -\frac{1}{C_2}& -\frac{1}{C_2}\\ \frac{1}{L_1}& 0& 0& 0& 0\\ -\frac{1}{L_2}& \frac{1}{L_2}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{L_3}& 0& 0& 0\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{C_2}\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]u，y=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\end{array}\right]x\end{array}$$