洛必达法则讲解和例题

洛必达法则

若满足$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }$型，则$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

• $\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }$可直接使用洛必达，$\infty -\infty ,0\cdot \infty ,1^{\infty },{\infty }^0,0^0$则需转化成$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }$才能使用

• 若$\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$仍满足$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }$型，则可继续用$\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=\lim \frac{f^{\prime \prime }(x)}{g^{\prime \prime }(x)}$

• 洛必达不是万能的，求极限首选无穷小替换，再用洛必达。

$\frac{0}{0}$型未定式

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^3}$

解：原式$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{6x}=\frac{1}{6}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{6}$

如果一开始将$\sin x$替换为$x$，则原式为$0$，这样是错误的。无穷小替换一般在乘除时可用，但在加减时要慎用。

$\frac{\infty }{\infty }$型未定式

题1： 求$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln \sin 3x}{\ln \sin 2x}$
解：原式$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{\sin 3x}\cdot \cos 3x\cdot 3}{\frac{1}{\sin 2x}\cdot \cos 2x\cdot 2}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{3\cos 3x}{2\cos 2x}\cdot \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin 2x}{\sin 3x}=\frac{3}{2}\cdot \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2x}{3x}=\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}=1$

$x\to 0$，$a$为常数，则$\cos ax$趋近于$1$

题2： 求$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x{e}^{\frac{x}{2}}}{x+e^x}$

解：原式$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^{\frac{x}{2}}+\frac{x}{2}{e}^{\frac{x}{2}}}{1+e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2e^{\frac{x}{2}}+x{e}^{\frac{x}{2}}}{2+2e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2e^{\frac{x}{2}}+\frac{x}{2}{e}^{\frac{x}{2}}}{2e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4+x}{4e^{\frac{x}{2}}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2e^{\frac{x}{2}}}=0$

由于$(e^x{)}^{\prime }=e^x$，所以我们可以用洛必达法则将不含$e$的部分通过求导去掉，留下含有$e$的部分再求值。

$\infty -\infty$型未定式

求$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x\sin x})$

解：原式$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^2\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}=-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{3x^2}=-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{6x}=-\frac{1}{6}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=-\frac{1}{6}$

此处将$\infty -\infty$型转换为$\frac{0}{0}$型

$0\cdot \infty$型未定式

求$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^2\ln x$

解：原式$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{2}{x^3}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }-\frac{x^3}{2x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }-\frac{x^2}{2}=0$

此处将$0\cdot \infty$型转换为$\frac{\infty }{\infty }$型

$1^{\infty }$型未定式

求$\underset{x\to 1}{\lim }(2-x{)}^{\frac{1}{\ln x}}$

解：原式$=e^{\underset{x\to 1}{\lim }\ln (2-x{)}^{\frac{1}{\ln x}}}=e^{\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln (2-x)}{\ln x}}=e^{\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-\frac{1}{2-x}}{\frac{1}{x}}}=e^{\underset{x\to 1}{\lim }-\frac{x}{2-x}}=e^{-1}$

此处将$1^{\infty }$型转换为$\frac{0}{0}$型

当$x\to 1$时，$-\frac{x}{2-x}$不满足洛必达法则的要求，不能用洛必达法则，直接等于$-1$

$0^0$未定式

求$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x$

解：原式$=e^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x^x}=e^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x}=e^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}}=e^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}}=e^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }-x}=e^0=1$

此处将$0^0$型转换为$\frac{\infty }{\infty }$型

${\infty }^0$型未定式

求$\underset{x\to 0}{\lim }(\cot x{)}^x$

解：原式$=e^{\underset{x\to 0}{\lim }\ln (\cot x{)}^x}=e^{\underset{x\to 0}{\lim }x\ln \cot x}=e^{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \cot x}{\frac{1}{x}}}=e^{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{\cot x}\frac{1}{{\sin }^{2}x}}{-\frac{1}{x^2}}}=e^{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{\cot x{\sin }^{2}x}}=e^{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cot x}}=e^{\underset{x\to 0}{\lim }\tan x}=e^0=1$

此处将${\infty }^0$型转换为$\frac{\infty }{\infty }$型