微分的定义和介绍

微分的定义

设函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，若函数增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$可表示为$\Delta y=a\Delta x+o(\Delta x)$，其中$a$为不依赖于$\Delta x$的常数，则称$y=f(x)$在$x_0$处可微，其中$a\Delta x$叫做函数$y=f(x)$在点$x_0$相应于自变量$\Delta x$的微分，记作$dy$，即$dy=a\Delta x$.

导数和微分的关系

• $a=f^{\prime }(x),\Delta x=dx,dy=f^{\prime }(x)dx$
• $f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$
• 可导是可微的充要条件

可导是可微的充要条件的证明

充分性
\qquad 设$f(x)$在$x_0$处可导，则下面极限存在：
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)$$

\qquad 即
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)-f^{\prime }(x_0)\Delta x}{\Delta x}=0$$

\qquad 所以，当$\Delta x\to 0$时，
$$\Delta f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$$

\qquad 由此可得$f(x)$在$x_0$处可微，并且$df(x_0)=f^{\prime }(x_0)dx$.

必要性
\qquad 设$f(x)$在$x_0$处可微，则$\exists a\in R$，使得当$\Delta x\to 0$时，
$$\Delta f(x_0)=a\Delta x+o(\Delta x)$$
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{a\Delta x+o(\Delta x)}{\Delta x}=a$$

\qquad 即$f(x)$在$x_0$处可导，并且$f^{\prime }(x_0)=a$

例1

设函数$f(x)=x^3-x$，当$x=2,\Delta x=0.01$时，函数$y$的微分$dy$是$\underline{}$.

解：
$f^{\prime }(x)=(3x^2-1){|}_{x=2}=11$

$dy=f^{\prime }(x)\Delta x=11\times 0.01=0.11$

例2

设函数$y=f(x)$在$x_0$处可微，自变量在$x_0$处有改变量$\Delta x=0.2$，相应的函数该变量$\Delta y$的线性主部等于$0.8$，则$f^{\prime }(x_0)=\underline{}$.

解：
$\Delta y=a\Delta x+o(\Delta x)$

\qquad 线性主部为$dy=a\Delta x=0.8$

\qquad 即$f^{\prime }(x_0)\cdot 0.2=0.8$，得$f^{\prime }(x_0)=4$

总结

利用可导是可微的充要条件，利用导数和微分的关系来解题。