弗洛伊德算法(Floyd-Warshall)

一、简介

       弗洛伊德算法又名插点法，是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。

       弗洛伊德算法是一种在具有正或负边缘权重但没有负周期的加权图中找到最短路径的算法。算法的单个执行将找到所有顶点对之间的最短路径的长度（加权）。 虽然它不返回路径本身的细节，但是可以通过对算法的简单修改来重建路径。 该算法的版本也可用于查找关系R的传递闭包，或在加权图中所有顶点对之间的最宽路径。

二、核心思路

路径矩阵

        即通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。 

        从图的带权临接A=[a(i,j)] n×n开始，迭代地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

状态转移方程

map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}；

        map[i,j]表示i到j的最短距离，K是穷举i,j的断点，map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。

        当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理，比如没有map[i,k]这条路。

过程

1. 从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。
2. 对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是更新它。

三、优缺点及时间空间复杂度 

优点：简单。

缺点：时间复杂度比较高。

时间复杂度：O(n^3)

空间复杂度：O(n^2)

四、参考代码 

声明：以下内容来自Floyd算法_百度百科

#include
#include
using namespace std;
const int &INF=100000000;
void floyd(vectorint> > &distmap,//可被更新的邻接矩阵，更新后不能确定原有边
           vectorint> > &path)//路径上到达该点的中转点
//福利：这个函数没有用除INF外的任何全局量，可以直接复制！
{
    const int &NODE=distmap.size();//用邻接矩阵的大小传递顶点个数，减少参数传递
    path.assign(NODE,vector<int>(NODE,-1));//初始化路径数组 
    for(int k=1; k!=NODE; ++k)//对于每一个中转点
        for(int i=0; i!=NODE; ++i)//枚举源点
            for(int j=0; j!=NODE; ++j)//枚举终点
                if(distmap[i][j]>distmap[i][k]+distmap[k][j])//不满足三角不等式
                {
                    distmap[i][j]=distmap[i][k]+distmap[k][j];//更新
                    path[i][j]=k;//记录路径
                }
}
void print(const int &beg,const int &end,
           const vectorint> > &path)//传引用，避免拷贝，不占用内存空间
           //也可以用栈结构先进后出的特性来代替函数递归 
{
    if(path[beg][end]>=0)
    {
        print(beg,path[beg][end],path);
        print(path[beg][end],end,path);
    }
    else cout<<"->"<
}
int main()
{
    int n_num,e_num,beg,end;//含义见下
    cout<<"（不处理负权回路）输入点数、边数：";
    cin>>n_num>>e_num;
    vectorint> > path,
          distmap(n_num,vector<int>(n_num,INF));//默认初始化邻接矩阵
    for(int i=0,p,q; i!=e_num; ++i)
    {
        cout<<"输入第"<1<<"条边的起点、终点、长度（100000000代表无穷大，不联通）：";
        cin>>p>>q;
        cin>>distmap[p][q];
    }
    floyd(distmap,path);
    cout<<"计算完毕，可以开始查询，请输入出发点和终点：";
    cin>>beg>>end;
    cout<<"最短距离为"<"，打印路径："<
    print(beg,end,path);
}

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