前置知识：导数求函数最大值和最小值
f ( x ) = ∣ x 2 − 3 x + 2 ∣ f(x)=|x^2-3x+2| f(x)=∣x2−3x+2∣，求 f ( x ) f(x) f(x)在 [ − 10 , 10 ] [-10,10] [−10,10]上的最值。
解：
\qquad 当 x ∈ [ − 10 , 1 ) ∪ [ 2 , 10 ] x\in[-10,1)\cup[2,10] x∈[−10,1)∪[2,10]时， f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 f(x)=x^2-3x+2 f(x)=x2−3x+2， f ′ ( x ) = 2 x − 3 f'(x)=2x-3 f′(x)=2x−3
\qquad 在范围内没有可能的极值点
f ( − 10 ) = 132 , f ( 2 ) = 0 , f ( 10 ) = 72 \qquad f(-10)=132,f(2)=0,f(10)=72 f(−10)=132,f(2)=0,f(10)=72
\qquad 当 x ∈ [ 1 , 2 ) x\in[1,2) x∈[1,2)时， f ( x ) = − x 2 + 3 x − 2 f(x)=-x^2+3x-2 f(x)=−x2+3x−2， f ′ ( x ) = − 2 x + 3 f'(x)=-2x+3 f′(x)=−2x+3
\qquad 可能的极值点： x = 3 2 x=\dfrac 32 x=23
f ( 3 2 ) = 1 4 , f ( 1 ) = 0 \qquad f(\dfrac 32)=\dfrac 14,f(1)=0 f(23)=41,f(1)=0
\qquad 综上所述，最大值为 132 132 132，最小值为 0 0 0
f ( x ) = x ln x f(x)=\sqrt{x}\ln x f(x)=xlnx的最值。
解：
\qquad
定义域为
(
0
,
+
∞
)
(0,+\infty)
(0,+∞)，
f
′
(
x
)
=
ln
x
2
x
+
x
x
=
(
ln
x
+
2
)
x
2
x
f'(x)=\dfrac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{(\ln x+2)\sqrt{x}}{2x}
f′(x)=2xlnx+xx=2x(lnx+2)x
\qquad 可能的极值点： x = e − 2 x=e^{-2} x=e−2
f ( e − 2 ) = − 2 e − 1 \qquad f(e^{-2})=-2e^{-1} f(e−2)=−2e−1
\qquad 所以函数的最小值为 − 2 e − 1 -2e^{-1} −2e−1