LeetCode 0813. 最大平均值和的分组

【LetMeFly】813.最大平均值和的分组

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/largest-sum-of-averages/

给定数组 nums 和一个整数 k 。我们将给定的数组 nums 分成 最多 k 个相邻的非空子数组 。 分数 由每个子数组内的平均值的总和构成。

注意我们必须使用 nums 数组中的每一个数进行分组，并且分数不一定需要是整数。

返回我们所能得到的最大 分数 是多少。答案误差在 10-6 内被视为是正确的。

 

示例 1:

输入: nums = [9,1,2,3,9], k = 3
输出: 20.00000
解释: 
nums 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 得到的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20. 
我们也可以把 nums 分成[9, 1], [2], [3, 9]. 
这样的分组得到的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.

示例 2:

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 4
输出: 20.50000

 

提示:

• 1 <= nums.length <= 100
• 1 <= nums[i] <= 104
• 1 <= k <= nums.length

方法一：DP + 前缀和

首先需要明白的是，虽然题目说的是“最多$k$组”，但其实等价于“分为$k$组”。因为能分成$k$组的话，绝对不分成$k-1$组。毕竟分组越少，除得越多。如果明白这个道理，下面的 证明 可以跳过。

证明：假设我们把数组分成了$k-1$组，那么我们可以将其中的某组一分为二（一定存在元素个数大于$1$的分组），这样，分母就会变小。（假设这组为$[a_1,a_2,\cdots ,a_n,b]$，那么这组的平均数为$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n+b}{n+1}$，不失一般性，我们把其中的$b$分出来，这样平均数之和就变成了$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}+b>\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n+b}{n+1}$

目的明确，确定分为$k$组。因此我们就可以使用数组$dp[n+1][k+1]$（其中$n$是数组中元素的个数），其中$dp[i][j]$代表将原始数组中的前$i$个元素分为$j$组的最大“平均数之和”

我们预处理求出一个前缀和数组$prefix[n+1]$，其中$prefix[i]$代表数组中前$i$个元素的和

• 当$j=1$时，$dp[i][j]=dp[i][1]=prefix[i]/i$（前$i$个元素的平均数）
• 否则，我们在$[j-1,i-1]$中挑选一个$l$，将$[0,i]$分为$[0,l-1]$和$[l,i-1]$两部分，因此 d p [ i ] [ j ] = max ⁡ l ≥ j − 1 { d p [ l ] [ j − 1 ] + ∑ r = l i − 1 n u m s [ r ] i − l } dp[i][j]=\max_{l\geq j-1}\{dp[l][j-1]+\frac{\sum_{r=l}^{i-1}nums[r]}{i-l}\} dp[i][j]=maxl≥j−1​{dp[l][j−1]+i−l∑r=li−1​nums[r]​}

最终$dp[n][k]$即为答案

• 时间复杂度$O(n^2\times k)$
• 空间复杂度$O(n\times k)$

AC代码

C++

class Solution {
public:
    double largestSumOfAverages(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size();
        vector<double> prefix(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            prefix[i] = prefix[i - 1] + nums[i - 1];
        }
        vector<vector<double>> dp(n + 1, vector<double>(k + 1));
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][1] = prefix[i] / i;
        }
        for (int j = 2; j <= k; j++) {
            for (int i = j; i <= n; i++) {
                for (int l = j - 1; l < i; l++) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[l][j - 1] + (prefix[i] - prefix[l]) / (i - l));
                }
            }
        }
        return dp[n][k];
    }
};
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