前置知识：函数的凹凸性与拐点
求 y = x e x − e x + 1 y=xe^x-e^x+1 y=xex−ex+1的单调性，极值，凹凸性及拐点。
解：
\qquad
令
f
(
x
)
=
x
e
x
−
e
x
+
1
f(x)=xe^x-e^x+1
f(x)=xex−ex+1
\qquad 定义域为 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)， f ( x ) = x e x − e x + 1 , f ′ ( x ) = x e x + e x − e x = x e x f(x)=xe^x-e^x+1,f'(x)=xe^x+e^x-e^x=xe^x f(x)=xex−ex+1,f′(x)=xex+ex−ex=xex
\qquad 可能的极值点： x = 0 x=0 x=0
| ( − ∞ , 0 ) (-\infty,0) (−∞,0) | 0 0 0 | ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞) | |
|---|---|---|---|
| f ′ ( x ) f'(x) f′(x) | − - − | 0 0 0 | + + + |
| f ( x ) f(x) f(x) | ↘ \searrow ↘ | 极小 | ↗ \nearrow ↗ |
\qquad 单调递增区间： ( − ∞ , 0 ] (-\infty,0] (−∞,0]，单调递减区间： [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+∞)，极小值为 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f(0)=0
f ′ ′ ( x ) = e x + x e x = ( x + 1 ) e x \qquad f''(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x f′′(x)=ex+xex=(x+1)ex
\qquad 可能的拐点： x = − 1 x=-1 x=−1
| ( − ∞ , − 1 ) (-\infty,-1) (−∞,−1) | − 1 -1 −1 | ( − 1 , + ∞ ) (-1,+\infty) (−1,+∞) | |
|---|---|---|---|
| f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x) | − - − | 0 0 0 | + + + |
| f ( x ) f(x) f(x) | 凸 | 拐点 | 凹 |
\qquad 凸区间： ( − ∞ , − 1 ] (-\infty,-1] (−∞,−1]，凹区间： [ − 1 , + ∞ ) [-1,+\infty) [−1,+∞)，拐点： ( − 1 , 1 − 2 e − 1 ) (-1,1-2e^{-1}) (−1,1−2e−1)