AtCoder Beginner Contest 277 F. Sorting a Matrix(拓扑排序+虚点)

题目

n*m(2<=n,m<=1e6,n*m<=1e6)的矩阵，

第i行第j列元素a[i][j](0<=a[i][j]<=n*m)

对于值为0的元素，你可以将其赋值为任意正整数，

不同位置的0元素，可以被赋值成不同的正整数

然后，你可以执行以下操作若干次：

1. 选择行i和行j，对于k∈[1,m]，交换a[i][k]和a[j][k]

2. 选择列i和列j，对于k∈[1,n]，交换a[k][i]和a[k][j]

若干次操作后，问矩阵是否能满足以下条件：

• A1,1​≤A1,2​≤⋯≤A1,W​≤A2,1​≤A2,2​≤⋯≤A2,W​≤A3,1​≤⋯≤AH,1​≤AH,2​≤⋯≤AH,W​

即每一行行内非严格递增，且第i行的最大值不超过第i+1的最大值

思路来源

官方题解

题解

首先，0是可以被忽略的，假设在一个非严格递增序列中插入0，

则0总可以赋值成其相邻左侧，或相邻右侧的值，使得序列的非严格递增性质保持不变

然后，矩阵会有一个行限制和一个列限制

1. 行限制，记每一行的最小值和最大值(mn,mx)，然后按mn排增序，

则排增序之后，第i项的mx需要小于等于第i+1项的mn

2. 列限制，行操作完之后，每次只能交换两列，若干次操作后，

相当于找到一个列号的排列，使得每一行内成非严格递增

对于同一行不同列内的两个值来说，若j1列的值v1

连一条边之后，相当于需要对m列确定一个拓扑序，

但如果对每一行暴力连边，一行内的边数最多是C(m,2)的，总数n*C(m,2)，不能接受

假设有两列的值是1，两列的值是2，考虑按如下图示，优化建边数

优化后，总的点数大致在2e6级别，而边数也大致在4e6级别，直接topo排序即可

图示

暴力连边

 建虚点x连边

心得

虚点的做法，典中典，

之前只是在最短路中搞过虚点，实际这题说明，

需要连n*m条边的场合，都可以考虑尝试是不是能优化成n+m条边的

代码

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
const int N=2e6+10,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,in[N],tot,id;
P b[N],x[N];
vector<int>e[N];
queue<int>q;
void add(int u,int v){
    e[u].push_back(v);
    in[v]++;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	vectorint>>a(n+1,vector<int>(m+1,0));
    id=m;
	for(int i=0;i
		int c=0,cnt=0,mn=N,mx=0;
		for(int j=0;j
			scanf("%d",&a[i][j]);
			cnt+=(!a[i][j]);
			if(a[i][j]){
				x[c++]=P(a[i][j],j);
				mn=min(mn,a[i][j]);
				mx=max(mx,a[i][j]);
			}
		}
        if(cnt==m)continue;
		b[tot++]=P(mn,mx);
		sort(x,x+c);// 列限制
        int las=-1;
        for(int j=0;j
            int k=j;
            while(k+11].first==x[k].first)k++;
            if(~las)for(int l=j;l<=k;++l)add(las,x[l].second);
            las=id++;
            for(int l=j;l<=k;++l)add(x[l].second,las);
            j=k+1;
        }
	}
    sort(b,b+tot);// 行限制
    for(int i=1;i
        if(b[i-1].second>b[i].first){
            cout<<"No"<
            return 0;
        }
    }
    for(int i=0;i
        if(!in[i])q.push(i);
    }
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        id--;
        for(auto &v:e[u]){
            if(!(--in[v])){
                q.push(v);
            }
        }
    }
	cout<<(!id?"Yes":"No")<
	return 0;
}