代码随想录算法训练营day57 | 647. 回文子串，516.最长回文子序列

647. 回文子串:

• 暴力解法：两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后判断这个区间是不是回文。时间复杂度：O(n^3).      Output Limit Exceeded

class Solution:
    #时间复杂度：O(n^3)
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        ans = 0
        for i in range(len(s)):
            for j in range(i+1, len(s)+1):
                print('current substring is', s[i:j])
                if self.isPalindrome(s, i, j-1):
                    print('yes')
                    ans += 1
        return ans
 
 
    def isPalindrome(self, str, start, end):
        while start < end:
            if str[start] != str[end]:
                return False
            start += 1
            end -= 1
        return True

• 动态规划：时间复杂度：O(n^2), 空间复杂度：O(n^2)

五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义：布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）        的。子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

2. 确定递推公式：分析如下四种情况：

• 当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false；（情况1）
• 当s[i]与s[j]相等时：
  • 下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串；（情况2）
  • 下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串；（情况3）
  • 下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。（情况4）

3. dp数组如何初始化：dp[i][j]初始化为false

4. 确定遍历顺序：首先从递推公式中可以看出，情况4是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，再      对dp[i][j]进行赋值true的。如图可以看出，dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

5. 打印检查

class Solution(object):
    def countSubstrings(self, s):
        """
        :type s: str
        :rtype: int
        """
        dp = [[False]*(len(s)+1) for _ in range(len(s)+1)]
        ans = 0
        for i in range(len(s)-1, -1, -1):
            for j in range(i, len(s)):
                if s[i] == s[j]:
                    if j-i <= 1:
                        ans += 1
                        dp[i][j] = True
                    elif dp[i+1][j-1]:
                        ans += 1
                        dp[i][j] = True
        
        return ans

• 双指针：时间复杂度：O(n^2)，空间复杂度：O(1)

• 首先确定回文串，就是找中心然后向两边扩散看是不是对称的就可以了。
• 在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况：
  • 一个元素可以作为中心点，
  • 两个元素也可以作为中心点。

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        ans = 0
        for i in range(len(s)):
            ans += self.extendCheck(s, i, i, len(s))
            ans += self.extendCheck(s, i, i+1, len(s))
        return ans
 
    
    def extendCheck(self, s, i, j, n):
        res = 0
        while i >= 0 and j < n and s[i] == s[j]: #由中心向两边扩散
            i -= 1
            j += 1
            res += 1
        return res

516.最长回文子序列

注意：

• A subsequence is a sequence that can be derived from another sequence by deleting some or no elements without changing the order of the remaining elements.
• A substring is a contiguous sequence of characters within the string.
  • 相关题目：#674，#5

五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义：

• dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

2. 确定递推公式：

• 在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
• 如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

• 如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子串的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成更长的回文子序列。
  • 加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
  • 加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

  • 那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

3. dp数组如何初始化：

• 首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j 相同时候的情况。

• 所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

• 其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

 4. 确定遍历顺序：

• 从递推公式dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2 和 dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) 可以看出，dp[i][j]是依赖于dp[i + 1][j - 1] 和 dp[i + 1][j] #想象一个二维矩阵来看
• 遍历i的时候一定要从下到上遍历
• 遍历j的时候一定要从左到右遍历

5. 打印检查

• 右遍历顺序可知，最终结果处于矩阵右上角，即 dp[0][len(s)-1]

class Solution:
    def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
        dp = [[0]*(len(s)) for _ in range(len(s))]
        for i in range(len(s)):
            dp[i][i] = 1
 
        for i in range(len(s)-1, -1, -1):
            for j in range(i+1, len(s)):
                if s[i] == s[j]:
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
        
        return dp[0][len(s)-1]
 

小结：

• 到此动态规划告一段落，二刷继续！