信号与线性时不变系统的傅里叶描述

信号与系统3——傅里叶描述

1、复正弦信号和线性时不变系统的频率相应
2、4种信号的傅里叶表示Fourier Representations for Four classes of Signals
3、傅里叶表示的特性
4、傅里叶变换的性质
5、帕斯瓦尔定理 Parseval Relationships
6、时间带宽积 Time-Bandwidth Product

1、复正弦信号和线性时不变系统的频率相应

卷积积分和卷积和	傅里叶变换
冲激表示信号	正弦表示信号
输入信号表示为延迟冲激的加权叠加	输入信号为复正弦信号的加权叠加
输出可以用卷积的形式来表示	输出可以用傅里叶的形式来表示

(1)频率响应Frequency response

线性时不变系统对正弦输入的相应引出了一个系统的特征量
The response of an LTI system to a sinusoidal input(正弦输入) lead to a characterization of system behavior that is termed the frequency response of the LTI system.

(2)离散LTI系统的频率响应Frequency response of Discrete-time LTI system

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1）Impulse response of discrete-time LTI system = h[n], input = x[n] =e^jΩn

2）Output

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3）Frequency Response

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(3)连续LTI系统的频率响应Frequency response of Continuous-time LTI system

1） Impulse response of continuous-time LTI system = h(t), input = x(t) = e^jwt

2）Output

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3）Frequency Response

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(4）特征量和特征函数-连续时间（Eigenvalue and eigenfunction of LTI system-Continuous-time）

1） Eigen representation

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2）Eigen function

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3）Eigen value

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Arbitrary input = weighted superpositions of eigenfunctions

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(5）特征量和特征函数-离散时间（Eigenvalue and eigenfunction of LTI system-Discrete-time）

1） Eigen representation

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2）Eigen function

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3）Eigen value

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2、4种信号的傅里叶表示Fourier Representations for Four classes of Signals

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（1）周期信号Periodic Signals: Fourier Series Representations

1) Discrete-time signal with fundamental period N=

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2) Continuous-time signal with fundamental period T

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3) The complex sinusoids exp(jkΩn) are N-periodics in the frequency index k

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4）Continuous-time complex sinusoid exp(jkwt) with distinct frequencies kw are always distinct

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5) Mean-square error (MSE) between the signal and its series representation

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（2）非周期信号

1) FT of continuous-time signal

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2) DTFT of discrete-time signal

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（3）离散时间周期信号：离散时间傅里叶级数

1) DTFS pair of periodic signal x[n]

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2) Determining DTFS Coefficients

①单个正弦信号

②多个正弦信号的叠加

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③基于冲激序列的信号

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④根据图像求解Calculation by Inspection

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⑤方波

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3) Determining DTFS Inverse Transformation

①单个正弦信号

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②多个正弦信号的叠加

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③基于冲激序列的信号

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④根据图像求解

（4）连续时间周期信号：傅里叶级数

1) Fourier series pair ⎯ Exponential FS

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X [0]等于一个周期的平均值，是x（t）的直流分量

2) Mean-square error (MSE)

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3)狄利克雷条件（Dirichlet condition）

①在任何周期内，x(t)绝对可积；
②在任何有限区间内，x(t)具有有限个最大值和最小值；
③在任何有限区间内，x(t)具有有限个不连续点，并且每个连续点都必须是有限值；
注：狄利克雷条件只是充分条件而非必要条件
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4) Fourier series pair ⎯ Trigonometric FS

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B [0]等于一个周期的平均值，是x（t）的直流分量

5) Determining CTFS Coefficients

①直接求算

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②基于冲激序列的信号

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③观测法-正弦信号

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④方波

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（5）离散时间非周期信号：离散时间傅里叶变换 DT Nonperiodic Signals: The DT Fourier Transform (DTFT)

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（6）连续时间非周期信号：傅里叶变换 CT Nonperiodic Signals: The CT Fourier Transform (CTFT)

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（7）常用信号的的傅里叶变换

1）单边指数函数 Real Decaying Exponential

①分类讨论，根据Dirchlet条件判断未知量的取值范围
②利用定义求解
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2）双边指数函数

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3）门函数（矩阵脉冲）Rectangular Pulse

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4）冲激函数

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5) 符号函数

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6）阶跃函数

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3、傅里叶表示的特性

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4、傅里叶变换的性质

（1）线性性质

4种傅里叶表示

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例1：阶跃信号
例2：

例3：方波

（2）对称特性Symmetry Properties

1) 实信号和虚信号 Real and Imaginary Signals

① Symmetry property for real-valued signal x(t)

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The magnitude spectrum（模值）：even function
The phase spectrum （幅角值）：odd function.

② Symmetry property for x(t) is purely imaginary

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The magnitude spectrum（模值）：even function
The phase spectrum （幅角值）：odd function

③ The conjugate symmetry property for DTFS

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Conclusions:
If x(t) is real valued, then the real part of the transform is an even function of frequency, while the imaginary part is an odd function of frequency.
This also implies that the magnitude spectrum is an even function while the phase spectrum is an odd function
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2）偶信号与奇信号 Even and Odd Signals

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实偶函数：X*（jw）=X（jw）

实奇函数：X*（jw）=-X（jw）

（3）卷积特性

1）非周期信号的卷积 Convolution of Nonperiodic Signals — Continuous-time case

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2) 滤波 Filtering

① 概念

频域上的相乘 Multiplication in frequency domain

② 表示

滤波表示输入信号的一些频率分量被滤除，而其他的频率分量无改变地通过系统
The terms “filtering” implies that some frequency components of the input are eliminated while others are passed by the system unchanged

③ 滤波的系统类型System Types of filtering

a. Low-pass filter

衰减信号的高通分量而通过低通分量

b. High-pass filter

衰减信号的低通分量而通过高通分量

c. Band-pass filter

允许特定频带范围的信号通过

④ 实际滤波器 Realistic filter

a. Gradual transition band

过渡带，过渡过程的频率范围

b. Nonzero gain of stop band

阻带无法做到零增益

⑤滤波器的幅度相应 Magnitude response of filter

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⑥通带的边缘The edge of the passband

通带的边缘通常由响应为−3 dB的频率定义，对应的响应幅度为 1/ 2^(1/2)
The edge of the passband is usually defined by the frequencies for which the response is −3 dB, corresponding to a magnitude response of 1/ 2^(1/2)

Unity gain = 0 dB

⑦ 滤波器能谱Energy spectrum of filter

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−3 dB点对应于滤波器只通过一半输入功率的频率
The −3 dB point corresponds to frequencies at which the filter passes only half of the input power.
− 3 dB point==Cutoff frequency

⑧ The expression of frequency response

The convolution property implies that the frequency response of a system may be expressed as the ratio of the FT or DTFT of the output to the input

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⑨从输出中恢复系统的输入Recover the input of the system from the output

a. 逆系统也称为均衡器，从输出中恢复输入的过程称为均衡器
An inverse system is also known as an equalizer, and the process of recovering the input from the output is known as equalization.

b. 因果限制→一个精确的逆系统是很难或不可能实现的！
Causality restriction → An exact inverse system is difficult or impossible to be implemented!
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