欧拉函数公式证明

定义

欧拉函数$\phi (n)$表示小于等于$n$且与$n$互质$(gcd(x,n)=1)$的数的个数

公式

$\phi (n)=n\times (\prod _{p_i|m,p_i是质数}\frac{p_i-1}{p_i})$

推导

一些显而易见或者易证明的性质

1. $\phi (p)=p-1,p是质数$
2. $\phi (pq)=\phi (p)\times \phi (q)=(p-1)\times (q-1),p,q均是质数$
   a. 直观理解，$[1,pq]$内与$pq$互质的数等于$[1,p]$内与$p$互质的数以及$[1,q]$内与$q$互质的数乘积
   b. 从积性函数方向理解，欧拉函数是积性函数，所以有$\phi (pq)=\phi (p)\times \phi (q)$
3. 对$n$分解质因子，$n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\dots p_m^{k_m}=\prod _{i=1}^m{p}_i^{k_i}$，其中 $p_i$两两互质，所以$p_i^{k_i}$两两互质
   a. 直观理解，$[1,n]$内与$n$互质的数所有$[1,p_i^{k_i}]$内与$p_i^{k_i}$互质的数的乘积
   b. 从积性函数方向理解，$\phi (n)=\prod _{i=1}^m\phi (p_i^{k_i})$
4. $\phi (p^k)=(p-1)(p^{k-1})$
   a. 因为$[1,p^k]$内与$p$不互质的数为 $1\times p,2\times p,\dots ,(p^{k-1})\times p$，共$p^{k-1}$个
   b. 那么 $[1,p^k]$内与$p$互质的数有$p^k-p^{k-1}=(p-1)\times (p^{k-1})$

欧拉函数公式证明

对于一个正整数$n$：

由性质$3$，对$n$分解质因子，$n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\dots p_m^{k_m}=\prod _{i=1}^m{p}_i^{k_i}$

由性质$4$，
$$\begin{gathered} \phi (n)=\prod _{i=1}^m\phi (p_i^{k_i}) \\ =\prod _{i=1}^m(p_i-1)(p_i^{k_i-1}) \\ =\prod _{i=1}^m\frac{p_i-1}{p_i}{p}_i^{k_i} \\ =(\prod _{i=1}^m{p}_i^{k_i})\times (\prod _{i=1}^m\frac{p_i-1}{p_i}) \\ =n\times (\prod _{i=1}^m\frac{p_i-1}{p_i}) \end{gathered}$$

故$\phi (n)=n\times (\prod _{i=1}^m\frac{p_i-1}{p_i})$，得证