复合函数的结合律证明

定义

设$f:D\mapsto E$是一个映射，$g:G\mapsto H$也是一个映射。如果$f(D)\subset G$，则从$\xi \in D$开始，相继经$f$和$g$的作用，就得到$g(f(\xi ))$这样的对应关系：$\xi \mapsto g(f(\xi ))$，也是一个映射，我们把这个映射称为$g$与$f$的复合，记作$g\circ f$。
简言之，映射$g$与映射$f$的复合定义为：
$$\begin{gathered} g\circ f:D\mapsto H, \\ \xi \mapsto g(f(\xi )). \end{gathered}$$
例：设$f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$定义为$f(x)=x^m$，则有
$f\circ f(x)=f(f(x))=(x^m{)}^m=x^{m^2}$

例：设$f(x)=x^2$和$g(x)=sinx$，计算$g\circ f$和$f\circ g$
解：$g\circ f(x)=g(f(x))=sin(x^2)=sin{x}^2$，$f\circ g(x)=f(g(x))=(sinx{)}^2=si{n}^{2}x$

性质

1.对于映射$f$和映射$g$，两种顺序的复合映射$g\circ f$和$f\circ g$不一定都有意义，即使有意义也不一定相同；
2.映射的复合满足结合律，即$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$
证明：$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$
证：$(f\circ g)\circ h=f(g(x))\circ h=f(g(h(x)))$，$f\circ (g\circ h)=f\circ (g(h(x)))=f(g(h(x)))$
$\therefore (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$，证毕。
证（详细版）：
$\because f\circ g=f(g(x))$，令$u=f(g(x))，\therefore (f\circ g)\circ h=u\circ h=u(h(x))$，
$\because g\circ h=g(h(x))$，令$v=g(h(x))，\therefore f\circ (g\circ h)=f\circ v=f(v(x))$，
进行变量代换，得：
$u(h(x))=f(g(h(x)),f(v(x))=f(g(h(x)),\therefore u(h(x))=f(v(x))$，即$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$，证毕。