【Python】Numpy傅里叶变换总结

简介

Fourier变换极其逆变换在数学上的定义如下

$$\begin{gathered} F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\text{d}t \\ f(t)=\frac{\pi }{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\text{d}\omega \end{gathered}$$

numpy中封装了快速Fourier算法，即FFT，根据数值范围、正反变换以及数组维度，共有下表这些函数可供使用，其前缀i表示逆变换。

此外，还有获取频率和相位的两组函数fftfreq, rfftfreq, fftshift, ifftshift。

fft

下面初步了解一下fft的功能

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.fft import *
t = np.arange(256)
sp = fft(np.sin(t))
freq = fftfreq(t.shape[-1])
plt.plot(freq, sp.real, freq, sp.imag)
plt.show()
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效果如下，表明Fourier变换后，其实部关于$y$轴对称，而虚部呈中心对称，或者说关于$y$轴呈反对称。

由于Fourier变换完成的是时空到频率的转换，而频率往往是对事物特征的某种刻画，换言之，保留部分最强的频率，也就保留了事物最重要的特征，故而Fourier常被用于图像滤波和压缩等领域。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.fft import *
img = plt.imread('test.jpg').astype(float)
f = fft(img)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(221)
ax.imshow(np.log(np.abs(f.real)+0.1))     #因为f.real太大
ax.axis('off')
clrs = ['Reds', 'Greens', 'Blues']
for i in range(3):
    ax = fig.add_subplot(2,2,i+2)
    ax.imshow(np.log(np.abs(f[:,:,i].real)+0.1), cmap=clrs[i])
    ax.axis('off')

plt.show()
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从而得到下图的样子，其中后面三张分别为R, G, B三个分量的傅里叶变换的实部

所以从频域上几乎什么都看不出来，除非用傅里叶逆变换将其复原

img1 = ifft2(f)
plt.imshow(np.real(img1)/255)
plt.axis('off')
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结果为