第四章 决策树

4.1 基本流程

决策树是一类常见的机器学习方法。以二分类任务为例，其结构类似于二叉树。以西瓜问题为例，其结构如图所示：

一般的，一颗决策树包含一个根节点、若干个内部结点和若干个叶节点；叶节点对应决策结果，其他每个结点则对应于一个属性测试；每个结点包含的样本集合根据属性测试的结果被划分到子节点中；根结点包含样本全集。从根结点到每个叶节点的路径对应了一个判定测试序列。决策树学习的目的是为了产生一颗泛化能力强，即处理未见示例能力强的决策树，其基本流程遵循简单且直观的分而治之策略。

4.2 划分选择

一般而言，随着划分过程不断进行，我们希望决策树的分支结点所包含的样本尽可能属于同一类别，即结点的纯度越来越高。

4.2.1 信息增益

信息熵是度量样本集合纯度最常用的一种指标。
假定当前样本集合D中第k类样本所占的比例为Pk(k = 1, 2, …, |y| ),则D的信息熵定义为

其值越小，D纯度越高。
假定离散属性a有V个可能的取值{a1,a2, …, aV},若使用a来对样本集D进行划分，则会产生V个分支结点，其中第v个分支结点包含了D中所有在属性a上取值为aV的样本，记为Dv.我们可根据上式计算出Dv的信息熵，再考虑到不同的分支结点所包含的样本数不同，给分支结点赋予权重|Dv|/|D|，即样本数越多的分支结点的影响越大，于是可计算出用属性a对样本集D进行划分所获得的信息增益。信息增益计算公式如下：

一般的，信息增益越大，则意味着使用属性a来进行划分所获得的纯度提升越大！

4.2.2 增益率

实际上，信息增益准则对可取值数目较多的属性有所偏好，为减少这种偏好可能带来的不利影响，著名的C4.5决策树算法不直接使用信息增益，而是使用“增益率”来选择最优划分属性。其定义为

其中

称为属性a的固有值，属性a的可能取值数目越多，则IV(a)的值通常会越大。
需注意的是，增益率准则对可取值数目较少的属性有所偏好，因此C4.5算法并不是直接选择增益率最大的候选划分属性，而是使用了一个启发式：先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择增益率最高的。

4.2.3 基尼指数

CART（Classification and Regression Tree）决策树使用基尼指数来选择划分属性，数据集D的纯度可用基尼值来度量：

直观来说，Gini(D)反映了从数据集D中随机抽取两个样本，其类别标记不一致的概率。因此，Gini(D)越小，则数据集D的纯度越高。
属性a的基尼指数定义为

于是，我们在候选属性集合A中，选择那个使得划分后基尼指数最小的属性作为最优划分属性。

4.3 剪枝处理

剪枝是决策树学习算法对付过拟合的主要手段。决策树剪枝的基本策略有预剪枝和后剪枝。预剪枝是指在决策树生成过程中，对每个结点在划分前先进行估计，若当前结点的划分不能带来决策树泛化性能提升，则停止划分并将当前结点标记为叶节点；后剪枝则是先从训练集生成一颗完整的决策树，然后自底向上地对非叶节点进行考察，若将该结点对应的子树替换为叶节点能带来决策树泛化性能提升，则将该子树替换为叶节点。
预剪枝使得决策树的很多分支都没有展开，这不仅降低了过拟合的风险，还显著减少了决策树的训练时间开销和测试时间开销。但另一方面，有些分支的当前划分虽不能提升泛化性能、甚至可能导致泛化性能暂时下降，但在其基础上进行的后续划分却有可能导致性能显著提高；预剪枝基于贪心本质禁止这些分支展开，给预剪枝决策树带来了欠拟合的风险。
后剪枝决策树通常比预剪枝决策树保留了更多的分支，一般情形下，后剪枝决策树的欠拟合风险很小，泛化性能往往由于预剪枝决策树。但后剪枝过程是在生成完全决策树之后进行的，并且要自底向上地对树中的所有非叶节点进行逐一考察，因此其训练时间开销比未剪枝决策树和预剪枝决策树都要大得多。

4.4 连续与缺失值

4.4.1 连续值处理

之前讨论的都是基于离散属性来生成决策树。由于连续属性的可取值数目不再有限，因此，不能直接根据连续属性的可取值来对结点进行划分。这时，连续属性离散化技术可派上用场，最简单的的策略是采用二分法对连续属性进行处理。

4.4.2 缺失值处理

4.5 多变量决策树

与传统的单变量决策树不同，在多变量决策树的学习过程中，不是为每个非叶节点寻找一个最优划分属性，而是试图建立一个合适的线性分类器。若能使用斜的划分边界，如图所示，决策树模型将大为简化。多变量决策树就是能实现这样的斜划分甚至更复杂划分的决策树。

一个典型的多变量决策树如图所示