反函数求导：自然对数 ln是怎么得到的；为什么自然对数的导数是 1/ x；arcsin 和 arccos 的导数求算

参考视频：MIT微积分

如何得到的自然对数 $ln$

• 首先我们知道以 $e$ 为底的指数函数 $e^x$

• 其次，我们引入反函数（逆函数）的概念 $f^{-1}(y)$

  对于任意的 $x$ 如果 $f(x)=y$ 那么 $x=f^{-1}(x)$

• 举个例子来说：

$$y=ax+b\to f(x)=y=ax+b$$

$$x=\frac{y-b}{a}=f^{-1}(y)$$

• 因此我们定义 $y=e^x$ 的反函数是 $f^{-1}(y)=lny$ 即 $ln(e^x)=x$

$ln$ 函数的导数

• 因为我们现在知道 $ln$ 是 $e^x$ 的反函数，我们尝试对他进行求导
• 首先 $ln(e^x)=x$ 两边同时求导：左边根据链式法则
  $$\frac{d(lny)}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=1$$
  $$\frac{d(lny)}{dy}\cdot \frac{d{e}^x}{dx}=1$$
  $$\frac{d(lny)}{dy}\cdot e^x=1$$
  $$\frac{d(lny)}{dy}\cdot =\frac{1}{e^x}$$
• 关键来了，因为现在我们的反函数的主题是 $y$，也就是 $f^{-1}(y)$ 我们关心的是 $y$，所以在上述式子中需要把 $e^x$ 替换成 $y$，所以可以得到：
  $$\frac{d(lny)}{dy}\cdot =\frac{1}{y}$$

$arcsin$ 的导数

• 我们知道 $arcsin$ 是 $sin$ 的反函数，即 $y=sin(x),si{n}^{-1}(y)=x$

• 为了方便观察，我们暂且把这个 $sin$ 的反函数写成 $A(y)$，所以 $A(y)=A(sin(x))=x$

• 两边同时求导：（左边还是根据链式法则）
  $$\frac{dA(y)}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=1$$
  $$\frac{dA(y)}{dy}\cdot \frac{dsin(x)}{dx}=1$$
  $$\frac{dA(y)}{dy}\cdot cos(x)=1$$

• 这时候要把 $cos(x)$ 化成使用 $y$ 表示的形式

• 又因为 $y=sin(x)$ 我们知道 $si{n}^2(x)+co{s}^2(x)=1$ 所以 $cos(x)=\sqrt{1-si{n}^2(x)}$

• 所以：
  $$\frac{dA(y)}{dy}=\frac{1}{\sqrt{1-si{n}^2(x)}}=\frac{1}{1-y^2}$$

• 也就是 $si{n}^{-1}(y)$ 的导数是 $\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$

arccos 的导数

• 与上面的步骤完全一样 $arccos$ 是 $cos$ 的反函数，即 $y=cos(x),co{s}^{-1}(y)=x$

• 我们暂且把这个 $cos$ 的反函数写成 $A(y)$，所以 $A(y)=A(cos(x))=x$

• 两边同时求导：（左边还是根据链式法则）
  $$\frac{dA(y)}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=1$$
  $$\frac{dA(y)}{dy}\cdot \frac{dcos(x)}{dx}=1$$
  $$\frac{dA(y)}{dy}\cdot -sin(x)=1$$

• $si{n}^2(x)+co{s}^2(x)=1$ 所以 $-sin(x)=-\sqrt{1-co{s}^2(x)}$

• 所以：
  $$\frac{dA(y)}{dy}=\frac{-1}{\sqrt{1-co{s}^2(x)}}=\frac{-1}{\sqrt{1-y^2}}$$

• 因此 $co{s}^{-1}(y)$ 的导数为：$\frac{-1}{\sqrt{1-y^2}}$

有趣的现象

• 有没有发现 $(arcsin(y){)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$，$(arccos(y){)}^{{}^{\prime }}=\frac{-1}{\sqrt{1-y^2}}$ 这两个加起来结果是 $0$

$$(arccos(y){)}^{{}^{\prime }}+(arcsin(y){)}^{{}^{\prime }}=0$$

• 也就是
  $$(arccos(y)+arcsin(y){)}^{{}^{\prime }}=0$$
• 所以肯定 $$arccos(y)+arcsin(y))=C$$ 其中 $C$ 是常数

• 事实上，如上图所示，$arcsin$ 和 $arccos$ 对应的两个角之和为 $\frac{\pi }{2}$ 确实为常数！