前置定义 1 设 V n V_n Vn， U m U_m Um 分别是 n n n 维和 m m m 维线性空间， T T T 是一个从 V n V_n Vn 到 U m U_m Um 的映射，如果映射 T T T 满足：
（i）任给
α
1
,
α
2
∈
V
n
\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \in V_n
α1,α2∈Vn（从而
α
1
+
α
2
∈
V
\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 \in V
α1+α2∈V），有
T
(
α
1
+
α
2
)
=
T
(
α
1
)
+
T
(
α
2
)
T(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2) = T(\boldsymbol{\alpha}_1) + T(\boldsymbol{\alpha}_2)
T(α1+α2)=T(α1)+T(α2)
（ii）任给
α
∈
V
n
\boldsymbol{\alpha} \in V_n
α∈Vn，
λ
∈
R
\lambda \in \R
λ∈R（从而
λ
α
∈
V
n
\lambda \boldsymbol{\alpha} \in V_n
λα∈Vn），有
T
(
λ
α
)
=
λ
T
(
α
)
T(\lambda \boldsymbol{\alpha}) = \lambda T(\boldsymbol{\alpha})
T(λα)=λT(α)
那么，
T
T
T 就称为从
V
n
V_n
Vn 到
U
m
U_m
Um 的 线性映射，或称为 线性变换。
证明见 “线性变换及其基本性质”。
前置定理 2 线性空间 V V V 的非空子集 L L L 构成子空间的充分必要条件是： L L L 对于 V V V 中的线性运算封闭。
证明见 “线性空间的定义与性质”。
性质 1 使
T
(
α
)
=
0
T(\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{0}
T(α)=0 的
α
\boldsymbol{\alpha}
α 的全体
N
T
=
{
α
∣
α
∈
V
n
,
T
(
α
)
=
0
}
N_T = \{ \boldsymbol{\alpha} | \boldsymbol{\alpha} \in V_n, T(\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{0} \}
NT={α∣α∈Vn,T(α)=0}
也是一个线性空间。
证明 显然有 N T ⊆ V n N_T \subseteq V_n NT⊆Vn。根据前置定理 2，若要证明 N T N_T NT 是一个线性空间，只需要证明 N T N_T NT 对线性运算封闭。根据前置定理 1，有：
若 α 1 , α 2 ∈ N T \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \in N_T α1,α2∈NT，即 T ( α 1 ) = 0 T(\boldsymbol{\alpha}_1) = \boldsymbol{0} T(α1)=0、 T ( α 2 ) = 0 T(\boldsymbol{\alpha}_2) = \boldsymbol{0} T(α2)=0，则有 T ( α 1 + α 2 ) = T ( α 1 ) + T ( α 2 ) = 0 T(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2) = T(\boldsymbol{\alpha}_1) + T(\boldsymbol{\alpha}_2) = \boldsymbol{0} T(α1+α2)=T(α1)+T(α2)=0，所以 α 1 + α 2 ∈ N T \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 \in N_T α1+α2∈NT。
若 α 1 ∈ N T \boldsymbol{\alpha}_1 \in N_T α1∈NT， λ ∈ R \lambda \in \R λ∈R，则 T ( λ α 1 ) = λ T ( α 1 ) = λ 0 = 0 T(\lambda \boldsymbol{\alpha}_1) = \lambda T(\boldsymbol{\alpha}_1) = \lambda \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} T(λα1)=λT(α1)=λ0=0，所以 λ α 1 ∈ N T \lambda \boldsymbol{\alpha}_1 \in N_T λα1∈NT。
因此 T ( V n ) T(V_n) T(Vn) 对线性运算封闭，所以它是一个线性空间。得证。