• [排序算法] 快速排序 (C++) (含三种写法)

    快速排序解释

    快速排序 Quick Sort 与归并排序一样，也是典型的分治法的应用。 (如果有对 归并排序还不了解的童鞋，可以看看这里哟~ 归并排序)❤❤❤

    (本文作者： Amαdeus，未经允许不得转载哦。)

    快速排序的分治模式

    1、选取基准值，获取划分位置。将原数组 a[l, r] 划分为两个子数组 a[l, mid - 1] 和 a[mid + 1, r]。在前一个数组中所有元素都小于等于 a[mid]，后一个数组中所有元素都大于等于 a[mid]。而此时的 a[mid] 的值就是我们所取的基准值，mid 就每次划分的位置；

    2、递归调用快速排序函数，分别对两个子数组 a[l, mid - 1] 和 a[mid + 1, r] 排序；

    3、快速排序我们是在原数组上进行操作的，所以我们并不需要合并，最后 a[l, r] 已经有序。

    快速排序的三种写法

    快速排序比较普及的有三种写法，分别是 左右指针法 挖坑法 和 前后指针法。主要是取得划分位置实现的方法有所不同。
    接下来会逐个介绍这三种快速排序的写法。


    左右指针法

    左右指针法步骤

    1、首先 我们一般选取最左边的元素作为基准值 key。

    2、然后我们需要定义两个变量 i 和 j。
    其中 i 为左指针(其实不是指针啦，只是为了方便这么叫它😋)，初始 i = 0。 j 为右指针，初始 j = r - 1，向左遍历不断找到小于基准值 key 的元素。

    3、我们先动右指针 j 向左遍历直到找到小于当前基准值 key 的元素；然后我们再动左指针 i 向右遍历直到找到大于当前基准值 key 的元素。
    当 i 和 j 分别找到它们要找的元素时，我们需要将两个元素进行位置交换。( 在这个过程中我们要保持 i < j )

    4、重复步骤3，直到最后我们可爱的左右指针相遇，这时我们再将基准值 key，放到这两个指针指向的位置。此时我们就得到了当前划分的位置，基准值 key 也完成了归位。

    左右指针法移动指针先后顺序问题

    在上述步骤中，有些人会感到疑惑，那就是我们再移动指针时，每次都要 先移动右指针，再移动左指针。为什么呢？😕😕😕

    在取基准值时，我们一般都是将序列的最左边位置的元素作为基准值。我们每次交换完元素后，左右指针都会继续寻找他们要找的值，观感上就是相互靠近。而问题就出在我们退出循环的那一刻。

    我们一直保持 i < j，也就是说，我们会在 i == j 时退出循环。假设 在某次交换之后，此时 j 指向的是交换之后的一个大于基准值的元素，如果我们先动左指针 i 去寻找一个大于基准值的元素，然鹅还未找到就已经和右指针 j 相遇了，这个时候我们需要退出循环，交换基准值 key 到当前两个指针指向的位置。
    但是!!!，此时 i 和 j 指向的是大于基准值的元素，那么我们进行交换基准值位置操作后，这个大于基准值的元素就被换到了序列的最左端，很明显，这时候出现了非常非常非常严重的错误。

    那如果我们先动右指针 j，去寻找一个小于基准值的元素，然鹅没有找到就已经和左指针 i 相遇了，这个时候退出循环，i 和 j 指向的一定是一个小于等于基准值的值。

    究其原因，这其实是我们取最左边的元素作为基准值导致的。我们需要保证每次交换过来的元素是小于等于基准值的，所以我们先动右指针，再动左指针。


    左右指针法动态演示

    我们以序列 [3,14,6,1,2,17,7] 为例进行动态演示。(后面还会有先动左指针的错误演示)

    左右指针法正确演示

    左右指针法错误演示


    左右指针法核心代码

    //左右指针法  
int Partition_Hoare(vector<int> &a, int left, int right){
    int i = left;
    int j = right;
    int key = a[left];

    while(i != j){
        while(i < j && a[j] >= key)      	 //向左找到小于基准值的值的下标
            j--;
        while(i < j && a[i] <= key)      	 //向右找到大于基准值的值的下标
            i++;
	swap(a[i], a[j]);
	}
    /*   i等于j时跳出循环 当前基准值此时在下标为i的位置(合适的位置)   */
    swap(a[left], a[i]);	                 //最左边的元素变为处于当前合适位置的元素,把基准值放在合适位置                                                 
    return i;                                  //返回合适位置(i,j都可以)
}

    挖坑法

    挖坑法步骤

    挖坑法顾名思义，就是每次挖一个坑填入元素使其归位。和左右指针法一样，我们同样需要两个变量 i 和 j。
    1、我们一般取最左边的元素为基准值，然后在基准值处挖空(挖坑)

    2、先动右指针 j 向左找到一个小于基准值的元素，然后将其填入先前挖的坑中，同时 j 指向的位置也多出来一个坑位。

    3、再动左指针 i 向右找到一个大于基准值的元素，然后将其填入先前挖的坑中，同时 i 指向的位置又多出来一个坑位。

    4、重复上述操作，直到最后两个指针相遇，此时再在这个坑位上填入基准值，即完成了基准值的归位，也就是我们划分的位置。

    (具体实现这个挖坑填坑的方式可以是元素值的覆盖，也可以是元素交换的形式，在后面的核心代码中会给出这两种方式)

    挖坑法动态演示

    我们以序列 [3,14,6,1,2,17,7] 为例进行动态演示。

    图(1)

    图(2)


    挖坑法核心代码

    //挖坑法1  
int Partition_DigI(vector &a, int left, int right){
    int i = left;
    int j = right;
    int key = a[left];

    while(i != j){
	while(i < j && a[j] >= key)          //必须先动右边的 因为取的基准值在左边
	    j--;                             //向左寻找直到找到比基准值小的
	a[i] = a[j];                         //挖坑 填入比基准值小的值

	while(i < j && a[i] <= key)          //再动左边的
	    i++;                             //向右寻找直到找到比基准值大的 
	a[j] = a[i];                         //挖坑 填入比基准值大的值
    }
    /*   i等于j时跳出循环 下标为i的位置即为合适的插入位置   */
    a[i] = key;                              //在i,j相遇的地方填入基准值
    return i;
}

//挖坑法2 
int Partition_DigII(vector &a, int left, int right){
    int i = left;                            //从左边开始
    int j = right;                           //从右边开始
    int key = a[left];                       //将最左边的数设为基准值	

    while(i != j){                           
	while(i < j && a[j] >= key)          //必须先动右边的 因为取的基准值在左边
	    j--;                             //向左寻找直到找到比基准值小的
	swap(a[i], a[j]);                    //交换
	i++;                                 //看下一个（可以省略）

	while(i < j && a[i] <= key)          //再动左边的
	    i++;                             //向右寻找直到找到比基准值大的    
	swap(a[i], a[j]);                    //交换
	j--;                                 //看下一个（可以省略）
    }  
    /* 一轮循环后基准值所在位置左边的数都比基准值小,右边的都比基准值大 */
    /*   i等于j时跳出循环 当前基准值此时在下标为i的位置(合适的位置)   */                       
    return i;                                //返回基准值合适位置
}

    前后指针法

    前后指针法步骤

    前后指针法同样需要两个指针，一个是 pre，一个是 curr。pre 最后找到的是划分后左半部分最后一个小于基准值的元素。
    1、一开始我们一般将前指针 pre 指向待排序序列的第一个元素，后指针 curr 指向 pre 后面的一个元素。

    2、然后我们让 后指针 curr 去寻找小于当前基准值的元素，若找到这个元素，此时需要将这个小于基准值的元素和当前 前指针 pre 后一个的位置的元素进行交换，即与 pre + 1 位置的元素进行交换，同时前指针 pre 也往后移动一步。

    3、在上述过程中我们需要保持 curr <= r，当 curr > r 退出循环时，需要将当前 pre 所指向的元素和基准值进行交换。最后返回这个pre，即为我们划分的位置。


    前后指针法动态演示

    我们以序列 [3,14,6,1,2,17,7] 为例进行动态演示。

    图(1)

    图(2)


    前后指针法核心代码

    //前后指针法  
int Partition_PreAndCurr(vector<int> &a, int left, int right){
    int pre = left;                          //pre最后找到左半部分最后一个小于基准值的元素
    int curr = pre + 1;                      //curr找到pre指向元素之后的下一个小于基准值的元素
    int key = a[left];

    while(curr <= right){
	if(a[curr] < key && ++pre != curr)   //当a[curr]>=key时pre保持不动,直到最后curr找到下一个小于基准值的元素
	    swap(a[curr], a[pre]);           //pre往后移动到其下一个位置,并交换前后指针指向的元素
	curr++;
    }
    swap(a[left], a[pre]);                   //最后将基准值和此时处于pre位置的小于基准值的元素交换
    return pre;
}

    快速排序时间复杂度

    假设时间复杂度为 T(n)。在进行取得划分位置上我们需要消耗 O(n) 的时间，在递归调用快速排序函数上，最好情况下如果每次我们取得的划分位置为n/2的位置，即消耗了 2T(n/2) 的时间。最坏情况下如果每次我们取得的划分位置为首或尾的位置，即消耗 T(n-1)+T(0)的时间。
    故时间复杂度如下

    最优时间复杂度

    最坏时间复杂度


    取基准值优化

    如何高效取基准值

    对于取基准值，我们发现 如果当前所取的基准值恰好是当前序列中最小的数或者最大的数，那么我们的划分位置必然是首或尾的位置，如果每次都这个亚籽，我们消耗的时间会非常的多，这显然就是最坏情况下的时间复杂度的状况。

    那么我们如何尽量地避免这件事呢？🤔🤔🤔

    我们自然会想到随机取数，这固然是一个很好的办法，但是这个世界充满了无限可能性。假如我们原先最左边的元素并不是最小或最大的一个元素，但是随机取到的元素却恰好是那个最小或最大的元素呢？

    (当然随机取数这个方法也是值得尝试的，后续程序中我不会用这个方式实现取基准值的优化，如果有需要，只需要把取基准值的几行代码改成如下就可以了)

    int random = rand() % (right - left + 1) + left;  
swap(a[random], a[left]);
int key = a[left]

    为了避免这种充满戏剧性的情况，我们采取 三数取中 的方法取基准值。

    三数取中，就是取序列中的最左边，中间，以及最右边三个数进行比较，以这三个数大小为中的元素作为基准值。这样可以更大程度上避免划分位置不好的情况，即使其并不能彻底避免，但是是一个很好的办法。


    取基准值优化核心代码

    int GetMid(int a[], int left, int right){
	int mid = (left + right)>>1;   
	if(a[left] < a[mid])
	    if(a[mid] < a[right])
		return mid;                      //mid为中间值
	    else
		if(a[left] < a[right])
		    return right;                //right为中间值
		else
		    return left;                 //left为中间值
	else
	    if(a[mid] > a[right])
		return mid;                      //mid为中间值
	    else
		if(a[left] > a[right])
		    return right;                //right为中间值
		else
		    return left;                 //left为中间值
}

    完整程序源代码

    #include
#include
#include
using namespace std;

/*                               1                                  */
//左右指针法  
int Partition_Hoare(vector<int> &a, int left, int right){
	int i = left;
	int j = right;
	int key = a[left];

	while(i != j){
	    while(i < j && a[j] >= key)      	 //向左找到小于基准值的值的下标
                j--;
            while(i < j && a[i] <= key)      	 //向右找到大于基准值的值的下标
                i++;
	    swap(a[i], a[j]);
	}
	/*   i等于j时跳出循环 当前基准值此时在下标为i的位置(合适的位置)   */
	swap(a[left], a[i]);	                 //最左边的元素变为处于当前合适位置的元素,把基准值放在合适位置                                     
	return i;                                //返回合适位置(i,j都可以)
}



/*                                 2                                */
//挖坑法1  
int Partition_DigI(vector<int> &a, int left, int right){
    int i = left;
    int j = right;
    int key = a[left];

    while(i != j){
	while(i < j && a[j] >= key)          //必须先动右边的 因为取的基准值在左边
	    j--;                             //向左寻找直到找到比基准值小的
	a[i] = a[j];                         //挖坑 填入比基准值小的值

	while(i < j && a[i] <= key)          //再动左边的
	    i++;                             //向右寻找直到找到比基准值大的 
	a[j] = a[i];                         //挖坑 填入比基准值大的值
    }
    /*   i等于j时跳出循环 下标为i的位置即为合适的插入位置   */
    a[i] = key;                              //在i,j相遇的地方填入基准值
    return i;
}

//挖坑法2 
int Partition_DigII(vector<int> &a, int left, int right){
    int i = left;                            //从左边开始
    int j = right;                           //从右边开始
    int key = a[left];                       //将最左边的数设为基准值	

    while(i != j){                           
	while(i < j && a[j] >= key)          //必须先动右边的 因为取的基准值在左边
	    j--;                             //向左寻找直到找到比基准值小的
	swap(a[i], a[j]);                    //交换
	i++;                                 //看下一个（可以省略）

	while(i < j && a[i] <= key)          //再动左边的
	    i++;                             //向右寻找直到找到比基准值大的    
	swap(a[i], a[j]);                    //交换
	j--;                                 //看下一个（可以省略）
	}  
	/* 一轮循环后基准值所在位置左边的数都比基准值小,右边的都比基准值大 */
    /*   i等于j时跳出循环 当前基准值此时在下标为i的位置(合适的位置)   */                       
    return i;                                //返回基准值合适位置
}



/*                               3                                  */
//前后指针法  
int Partition_PreAndCurr(vector<int> &a, int left, int right){
    int pre = left;                          //pre最后找到左半部分最后一个小于基准值的元素
    int curr = pre + 1;                      //curr找到pre指向元素之后的下一个小于基准值的元素
    int key = a[left];

    while(curr <= right){
	if(a[curr] < key && ++pre != curr)   //当a[curr]>=key时pre保持不动
	    swap(a[curr], a[pre]);           //pre往后移动到其下一个位置,并交换前后指针指向的元素
	curr++;
    }
    swap(a[left], a[pre]);                   //最后将基准值和此时处于pre位置的小于基准值的元素交换
    return pre;
}



/*                               4                                  */
//取基准值的优化    三数取中
int GetMid(int a[], int left, int right){
	int mid = (left + right)>>1;   
	if(a[left] < a[mid])
	    if(a[mid] < a[right])
		return mid;                      //mid为中间值
	    else
		if(a[left] < a[right])
		    return right;                //right为中间值
		else
		    return left;                 //left为中间值
	else
	    if(a[mid] > a[right])
		return mid;                      //mid为中间值
	    else
		if(a[left] > a[right])
		    return right;                //right为中间值
		else
		    return left;                 //left为中间值
}


//左右指针法 三数取中优化
int Partition_Better(vector<int> &a, int left, int right){
    int pos = GetMid(a, left, right);
    swap(a[pos], a[left]);                   //将取得的基准值和第一个位置交换

    int i = left;
    int j = right;
    int key = a[left];
	
    while(i != j){
	while(i < j && a[j] >= key)
	    j--;
	while(i < j && a[i] <= key)
	    i++;
	swap(a[i], a[j]);
    }

    swap(a[i], a[left]);
    return i;
}



/*******************************************************************/
void Quick_Sort(vector<int> &a, int left, int right){
    if( left >= right )
	return;   

    //int i = Partition_Hoare(a, left ,right); //分割    C(n) = n - 1
    //int i = Partition_DigI(a, left, right);
    //int i = Partition_DigII(a, left, right);
    //int i = Partition_PreAndCurr(a, left, right);

    int i = Partition_Better(a, left, right);   
    Quick_Sort(a, left, i - 1);              //递归左边的部分   
    Quick_Sort(a, i + 1, right);             //递归右边的部分  
}  


void show(vector<int> &v){
    for(auto &x : v)
	cout<" ";
    cout<}


main(){
    vector<int> v;
    srand((int)time(0));
    int n = 50;
    while(n--)
	v.push_back(rand() % 100 + 1);
    show(v);

    Quick_Sort(v, 0, v.size() - 1);

    cout<    show(v);

    /* 作者 Amαdeus */
}

    程序运行结果图


    __EOF__

  • 本文作者： Amadeus
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