【每日一题Day33】LC799香槟塔 | 动态规划

香槟塔【LC799】

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中 第一层 有 1 个玻璃杯， 第二层 有 2 个，依次类推到第 100 层，每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。

起晚了，周赛只A了一题半，没吃早饭果然脑子动不起来:-|

• 思路：模拟倒香槟的过程，使用$tables$数组记录香槟塔每个位置的香槟，第$i+1$行的香槟的容量由前一行香槟的容量决定，香槟$tables[i][j]$可能会对$tables[i+1][j]$和$tables[i+1][j+1]$造成影响

  • 如果$tables[i][j]>1$，那么流入下一行的两个玻璃杯的香槟为$(tables[i][j]-1)/2$
  • 如果$tables[i][j]<=1$，那么不会对下一行的两个玻璃杯造成影响

• 动态规划

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

     dp[i][j]:香槟塔第i行第j列玻璃杯中香槟的容量

  2. 确定递推公式

     • 如果第i行第j列玻璃杯存在溢出现象，即$dp[i][j]>1$，修改下一行对应的两个玻璃杯的香槟量，并将该玻璃杯的香槟量修改为1

       $$dp[i+1][j]+=(dp[i][j]-1)/2$$

       $$dp[i+1][j+1]+=(dp[i][j]-1)/2$$

     $$dp[i][j]=1$$

  3. 如何初始化

     • $dp[0][0]=poured$;

  4. 确定遍历顺序

     由dp公式可知，外层正序遍历行i，内层正序遍历列j

  5. 举例推导dp数组

• 实现

  class Solution {
      public double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
          double[][] tables = new double[query_row + 10][query_row + 10];
          tables[0][0] = poured;
          for (int i = 0; i <= query_row; i++){
              for (int j = 0; j <= i; j++){
                  if (tables[i][j] > 1){
                      double p = (tables[i][j] - 1) / 2.0;
                      tables[i+1][j] += p;
                      tables[i+1][j+1] += p;
                      tables[i][j] = 1;
                  }
              }
          }
          return tables[query_row][query_glass];
      }
  }
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  • 复杂度

    • 时间复杂度：$O(n^2)$，n为行数
    • 空间复杂度：$O(n^2)$

• 优化空间复杂度，因dp过程中，只需要记录当前行和后一行的香槟量，因此可以使用2行的dp数组代替

  class Solution {
      public double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
          double[][] tables = new double[2][query_row + 10];
          tables[0][0] = poured;
          for (int i = 0; i <= query_row; i++){
              int cur = i & 1, next = (i + 1) & 1;
              Arrays.fill(tables[next],0);
              for (int j = 0; j <= i; j++){
                  if (tables[cur][j] > 1){
                      double p = (tables[cur][j] - 1) / 2.0;
                      tables[next][j] += p;
                      tables[next][j+1] += p;
                      tables[cur][j] = 1;
                  }
              }
          }
          return tables[query_row & 1][query_glass];
      }
  }
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  • 复杂度

    • 时间复杂度：$O(n^2)$，n为行数
    • 空间复杂度：$O(n)$