【证明】线性变换的像集是一个线性空间

前置定义 1　设 $V_n$，$U_m$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间，$T$ 是一个从 $V_n$ 到 $U_m$ 的映射，如果映射 $T$ 满足：

（i）任给 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2\in V_n$（从而 ${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2\in V$），有
$$T({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)=T({\mathbf{\alpha }}_1)+T({\mathbf{\alpha }}_2)$$
（ii）任给 $\mathbf{\alpha }\in V_n$，$\lambda \in \mathbb{R}$（从而 $\lambda \mathbf{\alpha }\in V_n$），有
$$T(\lambda \mathbf{\alpha })=\lambda T(\mathbf{\alpha })$$
那么，$T$ 就称为从 $V_n$ 到 $U_m$ 的 线性映射，或称为 线性变换。

证明见 “线性变换及其基本性质”。

前置定理 2　线性空间 $V$ 的非空子集 $L$ 构成子空间的充分必要条件是：$L$ 对于 $V$ 中的线性运算封闭。

证明见 “线性空间的定义与性质”。

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性质 1　线性变换 $T$ 的像集 $T(V_n)$ 是一个线性空间。

证明　根据前置定义 1，不妨设线性变换 $T$ 是从 $V_n$ 到 $U_m$ 的映射，则有 $T(V_n)\subseteq U_m$。根据前置定理 2，只要 $T(V_n)$ 对线性运算封闭，则因为 $T(V_n)$ 构成线性空间 $U_m$ 的子空间，进而说明 $T(V_n)$ 是一个线性空间。

设 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2\in T(V_n)$，则有 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2\in V_n$，使 $T({\mathbf{\alpha }}_1)={\mathbf{\beta }}_1,T({\mathbf{\alpha }}_2)={\mathbf{\beta }}_2$，根据前置定理 1，从而有
$${\mathbf{\beta }}_1+{\mathbf{\beta }}_2=T({\mathbf{\alpha }}_1)+T({\mathbf{\alpha }}_2)=T({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)$$

$$\lambda {\mathbf{\beta }}_1=\lambda T(\mathbf{\alpha })=T(\lambda {\mathbf{\alpha }}_1)$$

因为 $V_n$ 是一个线性空间，所以有 ${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2\in V_n$ 和 $\lambda {\mathbf{\alpha }}_1\in V_n$，进而有 $T({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)\in T(V_n)$ 和 $T(\lambda {\mathbf{\alpha }}_1)\in T(V_n)$。因此 $T(V_n)$ 对线性运算封闭，所以它是一个线性空间。得证。