如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，则这个区间上一定存在最大值 M M M和最小值 m m m。
即：如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，则 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上一定有界。
如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，且最大值和最小值分别为 M M M和 m m m，则对于 m m m和 M M M之间的任何实数 c c c，在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上至少存在一个 ξ \xi ξ，使得 f ( ξ ) = c f(\xi)=c f(ξ)=c。
即：闭区间上连续函数必取得介于最大值和最小值之间的一切值。
如果函数在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，且 f ( a ) f(a) f(a)和 f ( b ) f(b) f(b)异号，则在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内至少存在一个 ξ \xi ξ，使得 f ( ξ ) = 0 f(\xi)=0 f(ξ)=0
零点定理其实就是介值定理的一种特殊情况。
设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
[
0
,
1
]
[0,1]
[0,1]上可导，且
0
<
f
(
x
)
<
1
,
f
′
(
x
)
>
1
0
(1) 在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)内存在一个点 ξ \xi ξ，使得 f ( ξ ) = ξ f(\xi)=\xi f(ξ)=ξ。
(2) ξ \xi ξ是唯一的。
解：
\quad
(1) 令
F
(
x
)
=
f
(
x
)
−
x
F(x)=f(x)-x
F(x)=f(x)−x
F ( 0 ) = f ( 0 ) − 0 > 0 , F ( 1 ) = f ( 1 ) − 1 < 0 \qquad F(0)=f(0)-0>0,F(1)=f(1)-1<0 F(0)=f(0)−0>0,F(1)=f(1)−1<0
F ( x ) \qquad F(x) F(x)在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上连续， F ( 0 ) ⋅ F ( 1 ) < 0 F(0)\cdot F(1)<0 F(0)⋅F(1)<0
\qquad 由连续函数的零点定理得 ∃ ξ ∈ ( 0 , 1 ) \exist\xi\in(0,1) ∃ξ∈(0,1)，使 F ( ξ ) = 0 F(\xi)=0 F(ξ)=0
\qquad 即 f ( ξ ) − ξ = 0 f(\xi)-\xi=0 f(ξ)−ξ=0，得证 f ( ξ ) = ξ f(\xi)=\xi f(ξ)=ξ
\quad (2) ∵ F ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 1 , f ′ ( x ) > 1 \because F'(x)=f'(x)-1,f'(x)>1 ∵F′(x)=f′(x)−1,f′(x)>1
∴ \qquad \therefore ∴在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)上始终由有 F ′ ( x ) > 0 F'(x)>0 F′(x)>0，即 F ( x ) F(x) F(x)单调递增
∴ F ( x ) \qquad \therefore F(x) ∴F(x)有且只有一个零点
\qquad 即有且仅有一个点 ξ \xi ξ，使 f ( ξ ) = ξ f(\xi)=\xi f(ξ)=ξ