一棵完全二叉树的第7层（根节点为第0层)有12个叶子节点，求整棵树最多有多少个节点和最少有多少个节点

答案

一棵完全二叉树的第7层（根节点为第0层)有12个叶子节点，求整棵树最多有$487$个节点和最少有$139$个节点。

---

完全二叉树

定义：一棵深度为$k$的有$n$个节点的二叉树，对树中的节点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为$i（1\le i\le n）$的结点与满二叉树中编号为$i$的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

直观理解：
完全二叉树的节点数是任意的，从形式上讲它是个缺失的三角形，但所缺失的部分一定是右下角某个连续的部分，最后那一行可能不是完整的，倒数第二行一定是完整的。

---

结果计算过程

由二叉树的性质可知，第七层（根节点为第0层)如果满的话，一共有$128$个节点。
$12<128$，结合完全二叉树性质，该完全二叉树只有两种情况，只有$7$层或者只有$8$层。

最少

该完全二叉树只有$7$层对应的情况为该12个叶子节点为第七层最靠近左边的叶子节点。
此时该完全二叉树一直到第6层都是满的，第七层有12个节点，且全为叶子节点。

此时该完全二叉树的节点总数为：$\sum =1+2+4+...+64+12=139$.

最多

该完全二叉树只有$8$层对应的情况为该12个叶子节点为第七层最靠近右边的叶子节点，该层的左边的节点均为非叶子节点。
此时该完全二叉树一直到第7层都是满的，第八层有$(128-12)\times 2$个节点，且全为叶子节点。

此时该完全二叉树的节点总数为：$\sum =1+2+4+...+64+128+(128-12)\times 2=487$.

---

公式归纳总结

这类题型还是不要归纳总结的太远

知道为什么就可以了，自己推一遍总归是好的。