数据结构篇——KMP算法

本次我们介绍数据结构中的KMP算法，我们会从下面几个角度来介绍：

• 问题介绍
• 暴力求解
• 知识补充
• Next示例
• Next代码
• 匹配示例
• 匹配代码
• 完整代码

问题介绍

首先我们先介绍适用于KMP算法的问题：

• 给定一个字符串S，以及一个模式串P,所有字符串中只包含大小写英文字母以及阿拉伯数字。
• 模式串P在字符串S中多次作为子串出现。
• 求出模式串P在字符串S中所有出现的位置的起始下标。

我们给出一个问题的简单示例：

// 输入 p长度 p s长度 s
3
aba
5
ababa
    
// 输出结果
0 2

暴力求解

所有问题我们都是在暴力求解的基础上进行更新迭代的，所以我们首先给出暴力求解：

// 下面为伪代码，只是起到思路作用
 
// 首先我们需要创造s[],p[]，并赋值
S[N],P[N]
    
// 然后我们开始匹配，我们会从S的第一个字符开始匹配，设置一个flag判断该字符开始的字符串是否与P字符匹配
// 该算法从每个i开始，全部进行匹配
for(int i = 1;i <= n;i++ ){
    boolean flag = true;
    for(int j = 1;j <= m;j++){
        if(s[i+j-1] != p[j]){
            flag = false;
            break;
        }
    }
}
 
// 我们给出一套完整的暴力求解方法
 
/**
 
 * 暴力破解法
 * @param ts 主串
 * @param ps 模式串
 * @return 如果找到，返回在主串中第一个字符出现的下标，否则为-1
 */
public static int bf(String ts, String ps) {
 
    char[] t = ts.toCharArray();
 
    char[] p = ps.toCharArray();
 
    int i = 0; // 主串的位置
 
    int j = 0; // 模式串的位置
 
    while (i < t.length && j < p.length) {
 
       if (t[i] == p[j]) { 
           
           // 当两个字符相同，就比较下一个
           i++;
           j++;
 
       } else {
 
           i = i - j + 1; // 一旦不匹配，i后退（从之前i的下一位开始，也是遍历所有i）
 
           j = 0; // j归0
       }
    }
 
    // 当上面循环结束，必定是i到头或者j到头，如果是j到头，则说明存在子串符合父串，我们就将头位置i返回
    if (j == p.length) {
       return i - j;
    } else {
       return -1;
    }
 
}
 
// 但是我们会发现：我们可以不让i回退而是让j回退，使j回退到能够与当前i相匹配的点位，然后继续进行主串和模式串的匹配

首先我们会发现这个算法的时间复杂度为O(n^2)

我们其中可以优化的点就是i的位置更新，我们可以根据p字符串的特性来判断i在失败后最近可以移动到哪个点位！

知识补充

我们为了学习KMP算法，我们需要补充一些下面会用到的知识：

• s[ ]是模式串，即比较长的字符串。
• p[ ]是模板串，即比较短的字符串。（这样可能不严谨。。。）
• “非平凡前缀”：指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合。
• “非平凡后缀”：指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。（后面会有例子，均简称为前/后缀）
• “部分匹配值”：前缀和后缀的最长共有元素的长度。
• next[ ]是“部分匹配值表”，即next数组，它存储的是每一个下标对应的“部分匹配值”，是KMP算法的核心。（后面作详细讲解）。

我们所用到的思想是：

• 在每次失配时，不是把p串往后移一位，而是把p串往后移动至下一次可以和前面部分匹配的位置，这样就可以跳过大多数的失配步骤
• 而每次p串移动的步数就是通过查找next[ ]数组确定的

Next示例

我们给出一个简单的Next示例：

// 首先我们给出一个next手写实例
 
/*
模板串为：ABABAA
    
next[0]代表t[0]-t[0]，即"A" , "A"的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0.
 
next[1]代表t[0]-t[1]，即"AB"，前缀为“A”，后缀为“B”,共有元素的长度为0..
 
next[2]代表t[0]~t[2]，即"ABA"，前缀为“AB"，后缀为"BA"，最大前后缀即"A",长度为1.
next[3]代表t[0]~t[3]，即"ABAB"，前缀为"ABA"后缀为"BAB”,最大前后缀即"AB ",长度为2.
 
next[4]代表t[0]~t[4]，即"ABABA",前缀为"ABAB"，后缀为"BABA",最大前后缀即" ABA",长度为3.
 
next[5]代表t[0]-t[5]，即" ABABAA",前缀为“ABABA",T后缀为“BABAA";最大前后缀即"A",长度为1.
 
*/
 
// 我们next的作用是使next[j]=k使 P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]、
// 当第n个数不匹配时，我们让j回退到k，这时我们的主串和模式串的前缀还属于匹配状态，我们继续进行匹配
例如 ababc
    我们如果匹配到c不符合时，我们可以使j回退到k（这里的k是2，即a）再继续进行匹配
    因为我们的c前面的ab和开头的ab是匹配的，我们主串中的i前面肯定也是ab，我们的l前面也是ab，所以两者匹配，我们可以继续后面的匹配
    相当于我们的x不变，我们将j放在2的位置，前面的ab已完成匹配，我们只需要匹配abc即可
 
// 公式书写就是下述：
    
当T[i] != P[j]时
 
有T[i-j ~ i-1] == P[0 ~ j-1]
 
由P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]
 
必然：T[i-k ~ i-1] == P[0 ~ k-1]

Next代码

我们给出求解Next的代码展示：

public static int[] getNext(String ps) {
 
    char[] p = ps.toCharArray();
 
    int[] next = new int[p.length];
 
    // 这里的next[0]需要等于-1
    // 因为j在最左边时，不可能再移动j了，这时候要应该是i指针后移。所以在代码中才会有next[0] = -1;这个初始化。
    next[0] = -1;
 
    // 这里设置j的初始值从第一个开始（我们需要得到全部next数组）
    int j = 0;
 
    // 这里设置k，k就是应该返回的位置，也就是我们常说的前缀和后缀匹配区域的前缀的后一个位置
    int k = -1;
 
    // 进行循环，得到next数组
    while (j < p.length - 1) {
 
        // 首先是k==-1时，说明前面已无匹配状态，我们重新开始
        // 然后是p[j] == p[k]，说明循环时新添加的值，与我们应该返回比对的位置相同
        // 同时由于我们之前的部分都是已经匹配成功的，所以加上这个数使我们的匹配长度又增加一位
       if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
 
           // 当两个字符相等时要跳过（因为p[k]与S[i]不符合的话，由于我们的p[j]=p[k]，所以肯定也不符合，我们直接跳下一步）
           if (p[++j] == p[++k]) { 
 
              next[j] = next[k];
 
           } else {
			// 因为在P[j]之前已经有P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]。（next[j] == k）
			// 这时候现有P[k] == P[j]，我们是不是可以得到P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j]。
       		// 即：P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]，即next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1
            // 前面我们已经进行了j++和k++，所以这里直接赋值即可
              next[j] = k;
 
           }
 
       } else {
		// 如果当前状态无法匹配，我们就跳回上一个前缀后缀相同部分再来判断是否前后缀相同
           k = next[k];
 
       }
 
    }
 
    return next;
 
} 

匹配示例

我们给出简单的匹配示例：

// 匹配相对而言就比较简单了
 
主串：abababc
模式串：abc
    
我们首先进行i++，j++范围的匹配，当第三位，即a和c匹配不成功时，我们不移动i，而是移动j
我们将j=2,移动到j=0,即next[2]的位置，在之后一直匹配并再对j进行一次移动，到最后匹配成功为止

匹配代码

我们给出对应的匹配代码：

/*该代码实际上是由暴力求解代码改造过来的*/
 
public static int KMP(String ts, String ps) {
 
    char[] t = ts.toCharArray();
 
    char[] p = ps.toCharArray();
 
    int i = 0; // 主串的位置
 
    int j = 0; // 模式串的位置
 
    int[] next = getNext(ps);
    
    // 开始判断（设置边界值）
    while (i < t.length && j < p.length) {
 
        // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归0
        // 如果匹配成功，两者都进行移动，开始下一位比对
       if (j == -1 || t[i] == p[j]) { 
 
           i++;
 
           j++;
 
       } else {
		   // 如果比对失败，我们将 j 返回next数组指定位置继续匹配
           
           // i不需要回溯了
           // i = i - j + 1;
 
           j = next[j]; // j回到指定位置
 
       }
 
    }
 
    // 最后同样进行判断，是否符合条件
    if (j == p.length) {
 
       return i - j;
 
    } else {
 
       return -1;
 
    }
 
}

完整代码

最后为大家展示一下完整代码：

import java.util.Scanner;
 
class ppp {
 
    /**
     * 主代码
     * @param args
     */
    public static void main(String[] args) {
 
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
 
        String ts = scanner.nextLine();
 
        String ps = scanner.nextLine();
 
        int kmp = KMP(ts, ps);
 
        System.out.println(kmp);
    }
 
    /**
     * kmp算法
     * @param ts
     * @param ps
     * @return
     */
    public static int KMP(String ts, String ps) {
 
        char[] t = ts.toCharArray();
 
        char[] p = ps.toCharArray();
 
        int i = 0; // 主串的位置
 
        int j = 0; // 模式串的位置
 
        int[] next = getNext(ps);
 
        // 开始判断（设置边界值）
        while (i < t.length && j < p.length) {
 
            // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归0
            // 如果匹配成功，两者都进行移动，开始下一位比对
            if (j == -1 || t[i] == p[j]) {
 
                i++;
 
                j++;
 
            } else {
                // 如果比对失败，我们将 j 返回next数组指定位置继续匹配
 
                // i不需要回溯了
                // i = i - j + 1;
 
                j = next[j]; // j回到指定位置
 
            }
 
        }
 
        // 最后同样进行判断，是否符合条件
        if (j == p.length) {
 
            return i - j;
 
        } else {
 
            return -1;
 
        }
 
    }
 
    /**
     * next数组求解
     * @param ps
     * @return
     */
    public static int[] getNext(String ps) {
 
        char[] p = ps.toCharArray();
 
        int[] next = new int[p.length];
 
        // 这里的next[0]需要等于-1
        // 因为j在最左边时，不可能再移动j了，这时候要应该是i指针后移。所以在代码中才会有next[0] = -1;这个初始化。
        next[0] = -1;
 
        // 这里设置j的初始值从第一个开始（我们需要得到全部next数组）
        int j = 0;
 
        // 这里设置k，k就是应该返回的位置，也就是我们常说的前缀和后缀匹配区域的前缀的后一个位置
        int k = -1;
 
        // 进行循环，得到next数组
        while (j < p.length - 1) {
 
            // 首先是k==-1时，说明前面已无匹配状态，我们重新开始
            // 然后是p[j] == p[k]，说明循环时新添加的值，与我们应该返回比对的位置相同
            // 同时由于我们之前的部分都是已经匹配成功的，所以加上这个数使我们的匹配长度又增加一位
            if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
 
                // 当两个字符相等时要跳过
                //（因为p[k]与S[i]不符合的话，由于我们的p[j]=p[k]，所以肯定也不符合，我们直接跳下一步）
                if (p[++j] == p[++k]) {
 
                    next[j] = next[k];
 
                } else {
                    // 因为在P[j]之前已经有P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]。（next[j] == k）
                    // 这时候现有P[k] == P[j]，我们是不是可以得到P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j]。
                    // 即：P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]，即next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1
                    // 前面我们已经进行了j++和k++，所以这里直接赋值即可
                    next[j] = k;
 
                }
 
            } else {
                // 如果当前状态无法匹配，我们就跳回上一个前缀后缀相同部分再来判断是否前后缀相同
                k = next[k];
 
            }
 
        }
 
        return next;
 
    }
}