1.2 极限的性质【极限】

1.2 极限的性质【极限】

1.2.1 唯一性

极限的唯一性

引入

1. 高中物理已经学过了平均速度和瞬时速度的概念。瞬时速度就是时间趋于 $0$ 时的平均速度。
   $$v_{瞬}=\underset{t\to 0}{\lim }\bar{v}$$
   在道路上给车辆测速可以采用多种方法，比如电磁雷达测速、激光测速、超声波测速、拍照测速等等。在误差允许的范围内，对同一车辆，在同一地点、同一时间测量出来的车速应该是相同，即平均速度在时间趋于 $0$ 时的极限值是唯一的。

2. 绝对零度（英文：The Absolute Zero），是热力学的最低温度，热力学温标的单位是K（开尔文），绝对零度就是0K（约为-273.15℃或-459.67℉），绝对零度在现实中是无法达到的，只是理论的下限值，在此温度下，物体分子没有动能，在一个特定的物理状态下不可能同时存在两个不同的温度，即温度降低的极限值是唯一的。

性质：唯一性

唯一性：如果数列或函数极限存在，那么极限唯一。

可以从以下两个角度来理解：

1. 几何角度：假设一个函数或数列存在两个极限，那么在坐标上函数值会不断接近两个不同的点，但是接近一个点就无法接近另一个点，所以只能接近一个点，所以极限值唯一。
2. 代数角度：假设一个函数或数列存在两个极限，可以根据极限的定义列出数学表达式，根据数学表达式可以推导出两个极限值其实是同一个值。利用这一点可以证明唯一性成立。

证明

数列与函数同理，以数列为例证明。

假设 { a n } \left\{a_{n}\right\} {an​} 是一个收敛数列，并且有两个极限 $K$ 和 $\mathrm{L}$ ，那么根据极限的定义：

对任意$\epsilon >0$ , 存在 $N_1\in \mathbb{N},N_2\in \mathbb{N}$ , 使得 $n>N_1⟹\left|a_n-K\right|<\frac{\epsilon }{2},n>N_2⟹\mid a_n-L\mid <\frac{\epsilon }{2}$

现在取 N = max ⁡ { N 1 , N 2 } N=\max \left\{N_{1}, N_{2}\right\} N=max{N1​,N2​} , 则 $n>N⟹\left|a_n-K\right|<\frac{ϵ}{2}$ 并且 $\left|a_n-L\right|<\frac{ϵ}{2}$

根据三角不等式， $|K-L|\le \left|K-a_n\right|+\left|a_n-L\right|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$

上式对于所有的 $\epsilon >0$ 都成立，即$\left|K-a_n\right|+\left|a_n-L\right|$小于一个任意小的值，

那么$\left|K-a_n\right|+\left|a_n-L\right|$只能为$0$，故 $|K-L|\le 0$，$K=L$ 。

1.2.2 有界性

引入

假如一个人蹦极：

设地面的高度是$0$，跳台的高度是$H$，下落的时间变量是 $t$，从跳台到最低点的实际时间是$T$，从跳台上下落的距离是$s(t)$，显然$s(t)$的值不会超过跳台的高度$H$，否则就撞地上了，$s(t)$的取值范围是 $[0,H)$，这个取值范围$[0,H)$是可能的最大范围。实际运动到最低点下落的距离假设是$h$，即
$$\underset{t\to T}{\lim }s(t)=h<H$$
这里的 $H$ 就是极限取值的上界。

如果一个数列或函数的极限存在，则该数列或函数在某个范围内有界。换句话说，如果一个数列或函数存在极限，那么它在趋近极限时不会无限地增大或减小，数列项或函数值被某个上界和下界所限制。

数列极限的有界性

如果数列 { x n } \left\{x_{n}\right\} {xn​}收敛, 那么数列 { x n } \left\{x_{n}\right\} {xn​}一定有界。

如果数列 { x n } \left\{x_{n}\right\} {xn​}收敛，那么对于数列 $a_n$，存在 $M1$ 和 $M2$，使得对于所有的 $n$，有 $M_1\le a_n\le M_2$，$M_1$为 $a_n$ 的下界，$M_2$ 为 $a_n$ 的上界。$|a_n|\le M$，$M$ 是所有项的界，可以取$M_1$ 和 $M_2$中较大的绝对值。

例如：数列$x_n=\frac{n+1}{n}$，数列极限为 $1$，$x_n$的上界是 $2$，下界是 $1$。

$x_n=\frac{n+1}{n}$的示意图：

注意 反之不成立，反例为 $x_n=(-1{)}^n$。显然，该数列有界但不收敛，由此可得有界是数列收敛的必要条件而非充分条件，无界数列一定发散，但发散数列不一定无界。

$x_n=(-1{)}^n$的示意图：

典例：数列极限的有界性的应用

设数列 $x_n$ 与 $y_n$ 满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=0$ ，则下列断言正确的是：(D)
A.若 ${\mathbf{x}}_n$ 发散，则 ${\mathbf{y}}_n$ 必发散；
B.若 $x_n$ 无界，则 $y_n$ 必有界；
C.若 $x_n$ 有界，则 $y_n$ 必为无穷小；
D.若 $\frac{1}{x_n}$ 为无穷小，则 $y_n$ 必为无穷小。

解：

A. $x_n=(-1{)}^n$，${\mathbf{y}}_n=0$ 收敛。A错误

B. $x_n=1,0,3,0,5,0,7,...$，${\mathbf{y}}_n=0,3,0,5,0,7,0,...$ ，两个数列都是无界，因为$0$项和非$0$项是错位的，所以相乘为$0$。B错误

C.$x_n=\frac{1}{n}$有界，${\mathbf{y}}_n=n$ 发散。C错误

D.$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(x_n{y}_n\right)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{x_n}=0\cdot 0=0$ 故应选（D）

函数极限的有界性

若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在，则$f(x)$在$x_0$ 某去心会邻域有界 (即局部有界)。

如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在，那么对于函数 $f(x)$，存在 $M1$ 和 $M2$，使得对于 $\mathring{U}\left(x_0,\delta \right)$ 中的 $x$，有 $M_1\le f(x)\le M_2$，$M_1$为 $f(x)$ 在 $\mathring{U}\left(x_0,\delta \right)$的局部下界，$M_2$ 为 $f(x)$ 在 $\mathring{U}\left(x_0,\delta \right)$的局部上界。在 $\mathring{U}\left(x_0,\delta \right)$ 中$|f(x)|\le M$，$M$ 可以取$M_1$ 和 $M_2$中的较大的绝对值，当上届和下界同时存在时，才称函数$f(x)$ 在 $\mathring{U}\left(x_0,\delta \right)$局部有界。

注意 反之不成立，即收敛必有界，但有界未必收敛。 反例为$f(x)=\sin \frac{1}{x}$，该函数在$x=0 $的去心邻域有界，但它在 $x=0$处的极限 $\underset{x\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{x}$不存在。如下图所示：

1.2.3 保号性

引入

通俗的讲，保号性就是数列项数 $n$ 趋于无穷的过程中，或函数自变量 $x$ 在接近某一点 $x_0$ 时，数列项 $a_n$ 或函数值 $f(x)$ 的正负号会变得和极限值的正负号一样。保号性可以用来证明极限的存在性和唯一性等问题，见后面的考研真题。

性质：保号性

数列的保号性

设 $\lim x_n=A$.

1. 如果 $A>0$ (或 $A<0$ ), 则存在$N>0$, 当 $n>N$ 时, $x_n>0$(或 $x_n<0$) ;

2. 如果存在 $N>0$, 当$n>N$ 时, $x_n⩾0$(或 $x_n⩽0$ ), 则 $A⩾0$ (或 $A⩽0$ )。

函数的保号性

设 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$.

1. 如果 $A>0$ (或 $A<0$ ), 则存在 $\delta >0$, 当 $x\in \mathring{U}\left(x_0,\delta \right)$ 时, $f(x)>0$( 或 $f(x)<0$) .

2. 如果存在 $\delta >0$, 当 $x\in \stackrel{\circ }{U}\left(x_0,\delta \right)$时, $f(x)⩾0$ (或 $f(x)⩽0$ ), 那么 $A⩾0$ (或 $A⩽0$ ).

   如果取$f(x)>0$ (或 $f(x)<0$ ), 那么 $A⩾0$ (或 $A⩽0$ )此处依然取等。

注意

上述结论 1. 中是严格不等号 ($>$ 或 $<$，不包含 $=$) 。

数列和函数的保号性结论 1. 中若$A=0$，则结论不成立。

对于数列：

如下图所示 $f(x)=\frac{sin(x)}{x}$，数列$x_n=\frac{sin(n)}{n}$是此函数上的点，$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}_n=\frac{sin(n)}{n}=0$，$x_n$在会在正负之间不断变化，不会在某一个$N$之后$x_n$大于 $0$ 或小于 $0$ 。

对于函数：

如下如所示，$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }xsin\frac{1}{x}=0$，$x\in \stackrel{\circ }{U}\left(0,\delta \right)$函数值不具有保号性。

上述结论 2. 中是非严格不等号 ($⩾$ 或 $⩽$) ，不论数列项或函数值是否取到 $0$，极限值都可以取到 $0$。

如果结论 2. 中取$x_n>0$(或 $x_n<0$ )，$f(x)>0$ (或 $f(x)<0$ )，则 $A⩾0$ (或 $A⩽0$ )，极限依然取等号。

典例：极限保号性的应用

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(1995, 数三) 设 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{(x-a{)}^2}=-1$ , 则在点 $x=a$ 处
A.$f(x)$ 的导数存在, 且 $f^{\prime }(a)\ne 0$ .
B.$f(x)$ 取得极大值.
C.$f(x)$ 取得极小值.
D.$f(x)$ 的导数不存在.

【解 1】极限保号性的应用

因为 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{(x-a{)}^2}=-1<0$ ，由极限保号性知，存在 $\delta >0$ , 当 $x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta )$ 时，
$$\frac{f(x)-f(a)}{(x-a{)}^2}<0$$
又因为当 $x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta )$ 时, $(x-a{)}^2>0$ , 则 $f(x)-f(a)<0$ , 即 $f(x)<f(a)$，由极值的定义得在点 $x=a$ 处 $f(x)$ 取得极大值.

【解 2】取特值法

令 $f(x)=-(x-a{)}^2$ , 显然 $f(x)$ 满足题设条件, 但在 $x=a$ 处 $f(x)$ 可导且 $f^{\prime }(a)=0$ , 取极大值, 则选项 (A) © (D) 都不正确, 故应选 (B).

推论：保序性

设$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$ ，$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=B$ ，则

1. 若$A>B\Rightarrow \exists \delta >0$，当 $x\in \stackrel{\circ }{U}(x_0,\delta )$时，$f(x)>g(x)$。

   注：若极限值相等，邻域内的函数值未必相同，所以取严格不等式，不包含等号。

2. 若$f(x)\ge g(x)\Rightarrow \exists \delta >0$，当 $x\in \stackrel{\circ }{U}(x_0,\delta )$时，$A\ge B$。

   注：若邻域内函数值都相等，极限值一定相同，所以不等式包含等号。

1.2.4极限值与无穷小之间的关系

$\lim f(x)=A\iff f(x)=A+\alpha (x)$ 其中 $\lim \alpha (x)=0$ 。